二重ゼータ関数の制限付き和公式
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でGangl-Kaneko-Zagierによる二重ゼータ値の制限付き和公式
\begin{align}
\sum_{0< a,b,a+b=k}\zeta(2a,2b)&=\frac 34\zeta(2k)\\
\sum_{0< a,b,a+b=k}\zeta(2a-1,2b+1)&=\frac 14\zeta(2k)
\end{align}
を示した. 今回はそれを多重ゼータ関数に拡張することを考える.
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の定理1の証明より$\Re(s)>2$として
\begin{align}
\sum_{0< n< m}\frac 1{n^{s-2}}\frac 1{m^2-n^2}-\sum_{0< n< m}\frac 1{m^2-n^2}\frac 1{m^{s-2}}&=\frac 34\zeta(s)
\end{align}
が成り立つことが分かる. よって
\begin{align}
\frac 1{m^2-n^2}&=\sum_{0\leq j}\frac{1}{n^{-2j}m^{2j+2}}
\end{align}
と等比級数で展開して
\begin{align}
\frac 34\zeta(s)&=\sum_{0< n< m}\frac 1{n^{s-2}}\frac 1{m^2-n^2}-\sum_{0< n< m}\frac 1{m^2-n^2}\frac 1{m^{s-2}}\\
&=\sum_{0\leq j}\left(\sum_{0< n< m}\frac{1}{n^{s-2j-2}m^{2j+2}}-\sum_{0< n< m}\frac 1{n^{-2j}m^{s+2j}}\right)\\
&=\sum_{0\leq j}(\zeta(s-2j-2,2j+2)-\zeta(-2j,s+2j))
\end{align}
となる. 先ほど$\Re(s)>2$としたが, これは通常の二重ゼータ関数の和公式の場合と全く同様に$\Re(s)>1$まで解析接続できることが分かる. つまり以下が得られた.
$\Re(s)>1$のとき,
\begin{align}
\sum_{0\leq j}(\zeta(s-2j-2,2j+2)-\zeta(-2j,s+2j))&=\frac 34\zeta(s)
\end{align}
が成り立つ.
全く同様に, 奇数だけからなるの方の制限付き和公式は以下のようになる.
$\Re(s)>1$のとき
\begin{align}
\sum_{0\leq j}(\zeta(s-2j-3,2j+3)-\zeta(-2j-1,s+2j+1))&=\frac 14\zeta(s)
\end{align}
が成り立つ.
これは通常の二重ゼータ関数の和公式と定理1の差を考えることによっても得ることができる.
