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大学数学基礎解説
文献あり

素数が無限に存在することの証明

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この記事は,この記事の著者であるナンブキトラのはてなブログ記事(参考文献XND)をMathlog用に書き直したものである.
この記事では素数の無限性を証明する.

本文

まず最初に合成数や素数の定義を確認しておく.

n,mZ1とする.n=kmとなるkZ1が存在するときにmn約数という.pZ1素数であるとはp1であり尚且つp1と自分自身以外の正の約数を持たないときにいう.nの素因数とは素数でありnを割り切れる数のことである.そしてnZ1に対して1<a,b<nを満たすa,bZ1が存在してn=abを満たすならばn合成数と呼ぶ.

合成数の定義から次がわかる.証明は省略する.

nが合成数であることとn1で尚且つnが素数でないことは同値である.

次に1より大きい整数が必ず素因数を持つことを自然数の整列性から導こう.

nZ1n1を満たすならばnは素因数を持つ.

まず集合A
A={nN n1かつnは素因数を持たない}
と定義する.証明したい命題はA=と同値である.背理法によって証明する.今Aと仮定するとAの最小元が存在する.そこでa=minAと置く.今aAなのでa1であり,なおかつaは素数ではない.よって 命題1 よりaは合成数である.ゆえに 1<x,y<a を満たすx,yZを用いてa=xyと書ける.数aAにおける最小性からx,yAでなければならない.よってx,yは素因数を持つ.するとa=xyなのでaも素因数を持つことになり,aAに矛盾する.

最後にこの記事の主定理を証明する.

素数は無限に存在する.

任意のn>1に対してそれよりも大きい素数が存在することを言えば良い.
n!1からnまでの間の自然数の積とする.つまり階乗のことである.このときn!+1 命題2 より素因数を持つ.その素因数の一つをpとする.(n!+1)n!=1なので,もしもpn!の約数だとするとp1を割り切ることになりp=1となる.これはpが素数であることに矛盾する.よってpn!の約数ではない.するとn!の定義からn<pがわかり,nより大きい素数の存在がわかった.

注釈

ここで与えた証明は練習用にはちょうど良い原稿量であるが,新規性のあるものではないだろう.実際,この記事の証明はSaidakSaidakによる証明とほぼ同じであると思われる.この記事での証明のポイントはnn+1が互いに素であることとユークリッドの証明よろしく階乗を用いるところである.

参考文献

投稿日:202433
更新日:202433
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ジェネトポがほどほどに好きです. はてなブログ「電波通信」のブログ主です.

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