科学大数学系院試過去問解答例(2022午後01)

まず非自明な$p$-群$G$をとり、その位数を$p^n(>1)$とする。中心に含まれない各共役類から代表元$x_1,\cdots ,x_s$をとったとき、類等式
$$|Z(G)|=p^n-(\sum _{i=1}^s[G:C_G(x_i)])$$
が成り立っている(ここで$C_G(x):=\{g\in G|xg=gx\}$)。ここである$x_i$について$[G:C_G(x_i)]=1$であることは$x_i\in Z(G)$と同値であるから、全ての$x_i$について$p|[G:C_G(x_i)]$である。以上から$p|Z(G)$、特に$Z(G)\ne 1$が従う。

1. まず$G$の非可換性から$Z(G)\ne p^3$である。次に$|Z(G)|=p^2$の場合は$G/Z(G)\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$である。しかしこのとき特に$G/Z(G)$は巡回群であるから$G$はアーベル群であり、これは起こり得ない。またこれと補題1を合わせることで$|Z(G)|=p$がわかる。
   このとき$|G/Z(G)|=p^2$であるが、ここで$G/Z(G)$が巡回群のとき$G$はアーベル群になるから、$G/Z(G)\simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2$が従う。実際これは非自明な群準同型$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2)$$から誘導される群$G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2⋊\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$によって実現される。
2. $G$が非可換であったとする。このとき(1)から$G/Z(G)=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2$であった。ここで$G/Z(G)$の生成元の$G$に於ける引き戻しを$g_1,g_2$とする。このとき$g_1{g}_2{g}_1^{-1}{g}_2^{-1}\in Z(G)$であるから、$Z(G)$と$g_1$で生成される群$H(\simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2)$は$G$の正規部分群である。また$g_2$によって生成される部分群$N(\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$を考えると、位数の比較で$G=HN$であるから、$G\simeq H⋊N$が従う。ここでこの群構造は準同型
   $$f:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\simeq N\to \mathrm{Aut}(H)\simeq {\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$
   をどう取るかに依存する。しかし${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$の位数$p$の元は全て互いに共役であるから$f(g_2)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$から定まる群と同型である。よって$G$は、上記で定めた$f$から誘導される半直積$G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2⋊\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$になることがわかった。ここで任意の元$((z^a,g_1^b),g_2^c)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^2⋊\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$について
   $$\begin{array}{rl}((z^a,g_1^b),g_2^c{)}^p& =((z^{ap},g_1^b{z}^{cb}{g}_1^b{z}^{2cb}\cdots z^{(p-1)cb}g),g_2^{cp})\\ & =((z^{pa},g_1^{\frac{cbp(p-1)}{2}}),g_2^{cp})\\ & =((1,1),1)\end{array}$$
   であるから、このとき$G$は位数$p^2$の元を持たない。
   一方$G$がアーベル群のとき、有限生成アーベル群の基本定理から同型類としてあり得るのは$G\simeq (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^3$のみである。
   以上で$G$が分類できた。