東工大数学院試過去問解答例(2022午後01)

まず非自明な$p$-群$G$をとり、その位数を$p^n(>1)$とする。中心に含まれない各共役類から代表元$x_1,\cdots,x_s$をとったとき、類等式
$$ |Z(G)|=p^n-(\sum_{i=1}^s[G:C_G(x_i)]) $$
が成り立っている(ここで$C_G(x):=\{g\in G|xg=gx\}$)。ここである$x_i$について$[G:C_G(x_i)]=1$であることは$x_i\in Z(G)$と同値であるから、全ての$x_i$について$p|[G:C_G(x_i)]$である。以上から$p|Z(G)$、特に$Z(G)\neq1$が従う。

1. まず$G$の非可換性から$Z(G)\neq p^3$である。次に$|Z(G)|=p^2$の場合は$G/Z(G)\simeq \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$である。しかしこのとき特に$G/Z(G)$は巡回群であるから$G$はアーベル群であり、これは起こり得ない。またこれと補題1を合わせることで$|Z(G)|=p$がわかる。
   このとき$|G/Z(G)|=p^2$であるが、ここで$G/Z(G)$が巡回群のとき$G$はアーベル群になるから、$G/Z(G)\simeq(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$が従う。実際これは非自明な群準同型$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\mathrm{Aut}((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2)$$から誘導される群$G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2\rtimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$によって実現される。
2. $G$が非可換であったとする。このとき(1)から$G/Z(G)=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2$であった。ここで$G/Z(G)$の生成元の$G$に於ける引き戻しを$g_1,g_2$とする。このとき$g_1g_2g_1^{-1}g_2^{-1}\in Z(G)$であるから、$Z(G)$と$g_1$で生成される群$H(\simeq(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2)$は$G$の正規部分群である。また$g_2$によって生成される部分群$N(\simeq\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$を考えると、位数の比較で$G=HN$であるから、$G\simeq H\rtimes N$が従う。ここでこの群構造は準同型
   $$ f:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\simeq N\to \mathrm{Aut}(H)\simeq\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) $$
   をどう取るかに依存する。しかし$\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$の位数$p$の元は全て互いに共役であるから$f(g_2)=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}$から定まる群と同型である。よって$G$は、上記で定めた$f$から誘導される半直積$G=(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2\rtimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$になることがわかった。ここで任意の元$((z^a,g_1^b),g_2^c)\in (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^2\rtimes\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$について
   $$ \begin{split} ((z^a,g_1^b),g_2^c)^p&=((z^{ap},g_1^bz^{cb}g_1^{b}z^{2cb}\cdots z^{(p-1)cb}g),g_2^{cp})\\ &=((z^{pa},g_1^{\frac{cbp(p-1)}{2}}),g_2^{cp})\\ &=((1,1),1) \end{split} $$
   であるから、このとき$G$は位数$p^2$の元を持たない。
   一方$G$がアーベル群のとき、有限生成アーベル群の基本定理から同型類としてあり得るのは$G\simeq(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^3$のみである。
   以上で$G$が分類できた。