距離空間3 内在的距離

地球上の2点間の距離をそのままユークリッド距離で測ると,その最短経路は地球の内部を通過します.しかし,地表のみを通って行く場合の長さが気になることもあることでしょう.そこで用いることができるのが次の長さ構造です.

長さ構造

ハウスドルフ空間$X$上の長さ構造(length structure)とは,$X$上の全ての道のなす族の部分族である認容的道の族$A$と,道の長さと呼ばれる写像$L:A\to \mathbb{R}\cup\{\infty\}$の組である.

$A$は次の条件を満たす.
(1) (制限で閉じる)
$\gamma:[a,b]\to X$を認容的道とし,$a\leq c \leq d\leq b$とすると$\gamma$の制限$\gamma|_{[c,d]}$も認容的道である.
(2) (道の積で閉じる)
$\gamma:[a,b]\to X$を道であって,その$[a,c]$,$[c,b] $への制限$\gamma_1$,$\gamma_2$が共に認容的道であるとする.このとき$\gamma$も認容的道である.
(3)(線形なリパラメトリゼーションで閉じる)
認容的道$\gamma:[a,b]\to X$と同型$\phi:[c,d]\to [a,b]$で$\phi(t)=\alpha t+\beta$,$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$の形のものに対し,合成$\gamma\circ\phi$も認容的道である.

$L$は次の性質を持つ.
(1)(加法性)
任意の$c\in[a,b]$に対し$L(\gamma|_{[a,b]})=L(\gamma|_{[a,c]})+L(\gamma|_{[c,b]})$.
(2)(連続依存性)
有限長さの道$\gamma:[a,b]\to X$に対し,$L(\gamma,a,t)=L(\gamma|_{[a,t]})$とおく.$L(\gamma,a,t)$は連続関数である.
(3)(線形なリパラメトリゼーションでの不変性)
$\phi$を線形同型とすると$L(\gamma\circ \phi)=L(\gamma)$.
(4)(位相との関係)
$x\in X$と$x $の近傍$U_x$に対し
$\inf\{L(\gamma):\gamma(a)=x,\gamma(b)\in X\backslash U_x\}>0$.

具体例としてはユークリッド空間$\mathbb{R}^n$の折れ線や区分的に微分可能な曲線の全体が挙げられます.

長さ構造が定まっているとき,それを用いて距離を定めることができます.

(X,A,L)を長さ構造とする.$x,y\in X$に対し
$d_L(x,y)=\inf\{L(\gamma);\gamma:[a,b]\to X,\gamma\in A,\gamma(a)=x,\gamma(b)=y\}$とおくと$(X,d_L)$は距離空間である.

$x,y,z\in X$とする.
(1) $d_L(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq0}\cup \{\infty\}$であることは明らか.$d_L(x,x)=0$であることは定値道の存在からわかる.実際,$\gamma:[0,1]\to X$を定値道とすればリパラメトリゼーションによる不変性から
$L(\gamma)=L(\gamma|_{[0,\frac{1}{2}]})+L(\gamma|_{[\frac{1}{2},1]})=2L(\gamma)$なので$L(\gamma)=0$.
$x\neq y$とするとハウスドルフ性から$x$のみを含む$x$の近傍$U_x$が存在するから$L$の位相との関係性から$d_L(x,y)>0$.
(2) リパラメトリゼーションによる不変性により$d_L(x,y)=d_L(y,x)$である.
簡単のため$\gamma:[0,1]\to X$を$\gamma(0)=x$,$\gamma(1)=y$なる$A$の元とする.$\phi(t)=-t+1$とすると$(\gamma\circ\phi)(0)=b$,$(\gamma\circ\phi)(1)=a$である.よって
$\{L(\gamma);\gamma:[a,b]\to X,\gamma\in A,\gamma(a)=x,\gamma(b)=y\}$
$=\{L(\gamma);\gamma:[a,b]\to X,\gamma\in A,\gamma(a)=y,\gamma(b)=x\}$
(3) $x$から$y$への認容的道$\gamma_1$と$y$から$z$への認容的道$\gamma_2$との積は$x$から$z$への認容的道だから
$\left\{\displaystyle\sum_{i=1,2} L(\gamma_i);\gamma_1:[a,b]\to X,\gamma_2:[c,d]\to X,\gamma_1,\gamma_2\in A,\gamma_1(a)=x,\gamma_1(b)=y=\gamma_2(c),\gamma_2(d)=z\right\}$
$\subseteq\{L(\gamma);\gamma:[a,b]\to X,\gamma\in A,\gamma(a)=x,\gamma(b)=z\}$.
よって三角不等式が成り立つ.$\Box$