0

距離空間3 内在的距離

25
0

地球上の2点間の距離をそのままユークリッド距離で測ると,その最短経路は地球の内部を通過します.しかし,地表のみを通って行く場合の長さが気になることもあることでしょう.そこで用いることができるのが次の長さ構造です.

長さ構造

ハウスドルフ空間X上の長さ構造(length structure)とは,X上の全ての道のなす族の部分族である認容的道の族Aと,道の長さと呼ばれる写像L:AR{}の組である.

Aは次の条件を満たす.
(1) (制限で閉じる)
γ:[a,b]Xを認容的道とし,acdbとするとγの制限γ|[c,d]も認容的道である.
(2) (道の積で閉じる)
γ:[a,b]Xを道であって,その[a,c],[c,b]への制限γ1,γ2が共に認容的道であるとする.このときγも認容的道である.
(3)(線形なリパラメトリゼーションで閉じる)
認容的道γ:[a,b]Xと同型ϕ:[c,d][a,b]ϕ(t)=αt+β,α,βRの形のものに対し,合成γϕも認容的道である.

Lは次の性質を持つ.
(1)(加法性)
任意のc[a,b]に対しL(γ|[a,b])=L(γ|[a,c])+L(γ|[c,b]).
(2)(連続依存性)
有限長さの道γ:[a,b]Xに対し,L(γ,a,t)=L(γ|[a,t])とおく.L(γ,a,t)は連続関数である.
(3)(線形なリパラメトリゼーションでの不変性)
ϕを線形同型とするとL(γϕ)=L(γ).
(4)(位相との関係)
xXxの近傍Uxに対し
inf{L(γ):γ(a)=x,γ(b)XUx}>0.

具体例としてはユークリッド空間Rnの折れ線や区分的に微分可能な曲線の全体が挙げられます.

長さ構造が定まっているとき,それを用いて距離を定めることができます.

(X,A,L)を長さ構造とする.x,yXに対し
dL(x,y)=inf{L(γ);γ:[a,b]X,γA,γ(a)=x,γ(b)=y}とおくと(X,dL)は距離空間である.

x,y,zXとする.
(1) dL(x,y)R0{}であることは明らか.dL(x,x)=0であることは定値道の存在からわかる.実際,γ:[0,1]Xを定値道とすればリパラメトリゼーションによる不変性から
L(γ)=L(γ|[0,12])+L(γ|[12,1])=2L(γ)なのでL(γ)=0.
xyとするとハウスドルフ性からxのみを含むxの近傍Uxが存在するからLの位相との関係性からdL(x,y)>0.
(2) リパラメトリゼーションによる不変性によりdL(x,y)=dL(y,x)である.
簡単のためγ:[0,1]Xγ(0)=x,γ(1)=yなるAの元とする.ϕ(t)=t+1とすると(γϕ)(0)=b,(γϕ)(1)=aである.よって
{L(γ);γ:[a,b]X,γA,γ(a)=x,γ(b)=y}
={L(γ);γ:[a,b]X,γA,γ(a)=y,γ(b)=x}
(3) xからyへの認容的道γ1yからzへの認容的道γ2との積はxからzへの認容的道だから
{i=1,2L(γi);γ1:[a,b]X,γ2:[c,d]X,γ1,γ2A,γ1(a)=x,γ1(b)=y=γ2(c),γ2(d)=z}
{L(γ);γ:[a,b]X,γA,γ(a)=x,γ(b)=z}.
よって三角不等式が成り立つ.

内在的距離

長さ構造から上の命題によって与えられた距離を内在的距離(intrinsic metric)または長さ距離(length metric)という.距離が内在的である距離空間と長さ空間(length space)という.

長さ構造のLに関する条件の4つめによりdLから定まる位相は元の位相より細かくなります.

完備性

任意のx,yXに対し,xからyへの認容的道で長さがdL(x,y)に等しいものが存在するとき,長さ構造は完備であるという.完備な長さ構造に由来する内在的距離を狭義内在的距離(strictly intrinsic metric)という.

次回から具体例をみていこうと思います.

参考文献: length-structure-topology

投稿日:2024123
更新日:20241218
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

qq_pp
qq_pp
6
3448

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中