地球上の2点間の距離をそのままユークリッド距離で測ると,その最短経路は地球の内部を通過します.しかし,地表のみを通って行く場合の長さが気になることもあることでしょう.そこで用いることができるのが次の長さ構造です.
ハウスドルフ空間
(1) (制限で閉じる)
(2) (道の積で閉じる)
(3)(線形なリパラメトリゼーションで閉じる)
認容的道
(1)(加法性)
任意の
(2)(連続依存性)
有限長さの道
(3)(線形なリパラメトリゼーションでの不変性)
(4)(位相との関係)
具体例としてはユークリッド空間
長さ構造が定まっているとき,それを用いて距離を定めることができます.
(X,A,L)を長さ構造とする.
(1)
(2) リパラメトリゼーションによる不変性により
簡単のため
(3)
よって三角不等式が成り立つ.
長さ構造から上の命題によって与えられた距離を内在的距離(intrinsic metric)または長さ距離(length metric)という.距離が内在的である距離空間と長さ空間(length space)という.
長さ構造の
任意の
次回から具体例をみていこうと思います.