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東大数理院試過去問解答例(2018B02)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2018B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2018B02

以下の問いに答えなさい

  1. 相異なる複素数λ,μ,ηをとり
    A=C[x,y,z]/(x2+y2+z2+1,λx2+μy2+ηz2+1)
    を考える。Aの任意の極大イデアルmについて
    dimCm/m2=1
    であるためには、λ,μ,η1であることが必要充分であることを示せ。
  2. λ,μ,η1であるとする。このとき環
    B=AC[z](C[z]/(xa))
    が非自明な巾ゼロ元を持たないようなaを全て挙げなさい。
  1. m=(xa,yb,zc)について
    dimCm/m2=3rank(abcλaμbηc)
    であるから、これが常に1であるためには、a2+b2+c2=λa2+μb2+ηc2=1なる任意のa,b,cについて上の式の右辺行列のランクが常に2であることが必要充分である。この条件が満たされているとき、(a,b,c)=(0,0,i)(0,i,0)(i,0,0)はいずれもa2+b2+c2=λa2+μb2+ηc2=1を満たしてはいけないから、λ,μ,η1が従う。一方条件が満たされていないとき、それを反例たり得るのは(a,b,c)=(i,0,0)(0,i,0)(0,0,i)に限られるから、このときはλ,μ,ηのいずれかが1であることが従う。
  2. まず
    B=C[x,y]/(x2+y2+1+a2,λx2+μy2+ηa2+1)=C[x,y]/(y2+(ηλ)a2+(1λ)μλ,x2+(ημ)a2+(1μ)λμ)
    である。ここでC[x,y]/(x2+s,y2+t)が巾ゼロ元を持つにはs=0,t=0のいずれかが満たされることが必要充分であるから、よって所望の条件を満たすようなa
    a=±i1ληλ,±i1μημ
    で尽くされている。
投稿日:2024224
更新日:2024815
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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