偶数次の中心対称行列のブロック対角化と行列式
はじめに
次のような正方行列を考えます。
\begin{equation}
\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&d\\c&b&a\end{pmatrix},
\qquad
\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\h&g&f&e\\d&c&b&a\end{pmatrix}.
\end{equation}
これらの行列は、成分を中心のまわりに180度回転させても形が変わりません。このような対称性をもつ行列を中心対称行列といいます。
成分の180度回転は、反転行列を左右から掛けることで表すことができます。そのため、中心対称性という成分の配置に関する性質を、行列の積を用いて捉えることができます。
特に偶数次の場合、この対称性を利用すると、$2n$次の中心対称行列が二つの$n$次行列を対角ブロックにもつ行列と相似であることが分かります。
以下では、まず反転行列を用いて中心対称行列を定義し、$2n$次の場合のブロック行列表示を求めます。次に、ブロック対角行列との相似を示し、その結果から行列式の公式を導きます。
反転行列と中心対称行列
まず、反転行列を定義する。
$n$次正方行列$J_n\in M_n(\mathbb{R})$を、その$(i,j)$成分が
\begin{equation}
(J_n)_{ij}=
\begin{cases}
1 & (i+j=n+1),\\
0 & (i+j\neq n+1)
\end{cases}
\end{equation}
となる行列として定める。この行列$J_n$を反転行列（exchange matrix, anti-identity matrix）という。
すなわち、$J_n$は反対角成分がすべて$1$で、それ以外の成分がすべて$0$である行列
\begin{equation}
J_n=
\begin{pmatrix}
0&0&\cdots&0&1\\
0&0&\cdots&1&0\\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\
0&1&\cdots&0&0\\
1&0&\cdots&0&0
\end{pmatrix}
\in M_n(\mathbb{R})
\end{equation}
である。
このとき、
\begin{equation}
J_n^2=I_n,\qquad J_n^T=J_n
\end{equation}
が成り立つ。したがって、
\begin{equation}
J_n^TJ_n=I_n
\end{equation}
であり、$J_n$は対称な直交行列である。
次に、$J_n$を用いて中心対称行列を定義する。
行列$A\in M_n(\mathbb{R})$が
\begin{equation}
J_nAJ_n=A
\end{equation}
を満たすとき、$A$を中心対称行列（centrosymmetric matrix）という。
中心対称行列の定義
\begin{equation}
J_nAJ_n=A
\end{equation}
が、成分を中心のまわりに180度回転させても変わらないことを表していることを確認しておこう。
例えば、
\begin{equation}
A=
\begin{pmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{pmatrix},
\qquad
J_3=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
\end{equation}
とする。
まず、左から$J_3$を掛けると、
\begin{equation}
\begin{aligned}
J_3A
&=
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
g&h&i\\
d&e&f\\
a&b&c
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
となり、行の順序が逆になる。
さらに右から$J_3$を掛けると、
\begin{equation}
\begin{aligned}
(J_3A)J_3
&=
\begin{pmatrix}
g&h&i\\
d&e&f\\
a&b&c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&0&1\\
0&1&0\\
1&0&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
i&h&g\\
f&e&d\\
c&b&a
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}
これは$A$の成分を中心のまわりに180度回転させた行列である。
したがって、
\begin{equation}
J_3AJ_3=A
\end{equation}
であることは、$A$の成分を180度回転させても行列が変わらないことを意味する。
偶数次の中心対称行列
$2n$次の中心対称行列を考える。
$2n$次の反転行列$J_{2n}\in M_{2n}(\mathbb{R})$は、$n$次の反転行列$J_n\in M_n(\mathbb{R})$を用いて
\begin{equation}
J_{2n}
=
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}
\end{equation}
と表される。
行列$M\in M_{2n}(\mathbb{R})$が中心対称行列であることと、ある$A,B\in M_n(\mathbb{R})$を用いて
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
と表されることは同値である。
まず、$A,B\in M_n(\mathbb{R})$とし、
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
とする。このとき、
\begin{equation}
\begin{aligned}
J_{2n}MJ_{2n}
&=
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
BJ_n&AJ_n\\
J_nA&J_nB
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}\\
&=M.
\end{aligned}
\end{equation}
したがって、$M$は中心対称行列である。
逆に、中心対称行列$M\in M_{2n}(\mathbb{R})$を
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix},
\qquad
A,B,C,D\in M_n(\mathbb{R})
\end{equation}
とする。このとき、
\begin{equation}
\begin{aligned}
J_{2n}MJ_{2n}
&=
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A&B\\
C&D
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
J_nC&J_nD\\
J_nA&J_nB
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0&J_n\\
J_n&0
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
J_nDJ_n&J_nCJ_n\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}
一方、$M$は中心対称行列であるから、
\begin{equation}
J_{2n}MJ_{2n}=M
\end{equation}
である。したがって、各ブロックを比較すると、
\begin{equation}
A=J_nDJ_n,\qquad
B=J_nCJ_n,\qquad
C=J_nBJ_n,\qquad
D=J_nAJ_n
\end{equation}
を得る。
特に、
\begin{equation}
C=J_nBJ_n,\qquad D=J_nAJ_n
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
と表される。
偶数次の中心対称行列とブロック対角行列
偶数次の中心対称行列は、直交行列を用いてブロック対角行列と相似であることを示す。
以下、$S,T\in M_m(\mathbb{R})$に対し、$R\in M_m(\mathbb{R})$が直交行列であるとき、
\begin{equation}
S\overset{R}{\sim}T
\end{equation}
は
\begin{equation}
R^TSR=T
\end{equation}
が成り立つことを表すものとする。
$A,B\in M_n(\mathbb{R})$に対して、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&B\\
B&A
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
の形の行列を、本記事ではブロック対称行列と呼ぶ。
まず、中心対称行列がブロック対称行列と相似であることを示す。
$A,B\in M_n(\mathbb{R})$に対して、
\begin{equation} \begin{pmatrix} A&B\\J_nBJ_n&J_nAJ_n \end{pmatrix} \overset{V}{\sim} \begin{pmatrix} A&BJ_n\\BJ_n&A \end{pmatrix}, \end{equation}
ただし、
\begin{equation}
V=
\begin{pmatrix}
I_n&0\\0&J_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
である。
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
とおく。
$J_n^2=I_n,\ J_n^T=J_n$より、
\begin{equation}
V^{-1}=V=V^T
\end{equation}
であるから、$V$は直交行列である。
また、
\begin{equation}
\begin{aligned}
V^TMV
&=
\begin{pmatrix}
I_n&0\\0&J_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A&B\\J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_n&0\\0&J_n
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
A&B\\BJ_n&AJ_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_n&0\\0&J_n
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
A&BJ_n\\BJ_n&A
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}
したがって、
\begin{equation} \begin{pmatrix} A&B\\ J_nBJ_n&J_nAJ_n \end{pmatrix} \overset{V}{\sim} \begin{pmatrix} A&BJ_n\\ BJ_n&A \end{pmatrix}. \end{equation}
次に、上で得られた形の行列について考える。
$A,B\in M_n(\mathbb{R})$に対して、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}
\overset{W}{\sim}
\begin{pmatrix}
A+B&0\\0&A-B
\end{pmatrix},
\end{equation}
ただし、
\begin{equation}
W=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\
I_n&-I_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
である。
このとき、
\begin{equation}
W^T=W,\qquad W^2=I_{2n}
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
W^{-1}=W^T=W
\end{equation}
であり、$W$は直交行列である。
さらに、
\begin{equation}
\begin{aligned}
W^T
\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}
W
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\
I_n&-I_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\
I_n&-I_n
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
A+B&A+B\\A-B&-A+B
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I_n&I_n\\
I_n&-I_n
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
A+B&0\\0&A-B
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&B\\B&A
\end{pmatrix}
\overset{W}{\sim}
\begin{pmatrix}
A+B&0\\
0&A-B
\end{pmatrix}.
\end{equation}
以上の二つの命題から、次の結果を得る。
$A,B\in M_n(\mathbb{R})$に対して、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&B\\J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\overset{U}{\sim}
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\0&A-BJ_n
\end{pmatrix},
\end{equation}
ただし、$U=VW$である。
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
とおく。
$V,W$はともに直交行列であるから、$U=VW$も直交行列である。また、前の二つの命題より、
\begin{equation}
\begin{aligned}
U^TMU
&=(VW)^TM(VW)\\
&=W^T(V^TMV)W\\
&=
W^T
\begin{pmatrix}
A&BJ_n\\
BJ_n&A
\end{pmatrix}
W\\
&=
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\
0&A-BJ_n
\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\overset{U}{\sim}
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\
0&A-BJ_n
\end{pmatrix}.
\end{equation}
念のため、直交行列$U$を具体的に求め、上の相似を直接計算して確かめてみよう。
まず、
\begin{equation}
\begin{aligned}
U=VW
&=
\begin{pmatrix}
I_n&0\\
0&J_n
\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}I_n&I_n\\I_n&-I_n
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}I_n&I_n\\J_n&-J_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{aligned}
\end{equation}
であり、
\begin{equation}
U^T=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}I_n&J_n\\I_n&-J_n
\end{pmatrix}.
\end{equation}
したがって、
\begin{equation}
\begin{aligned}
U^TMU
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}I_n&J_n\\I_n&-J_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}I_n&I_n\\J_n&-J_n
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}A+BJ_n&AJ_n+B\\A-BJ_n&-AJ_n+B
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}I_n&I_n\\J_n&-J_n
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\0&A-BJ_n\end{pmatrix}.
\end{aligned}
\end{equation}
確かに、上の相似関係が直接確認できる。
また、$U$は$A,B$に依存しないため、$n$を固定すれば、すべての $2n$次中心対称行列は、同一の直交行列を用いてブロック対角行列と相似であることが分かる。
偶数次の中心対称行列の行列式
以上より、偶数次の中心対称行列の行列式に関する公式が得られる。
$A,B\in M_n(\mathbb{R})$に対して、
\begin{equation}
\det
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
=
\det(A+BJ_n)\det(A-BJ_n)
\end{equation}
が成り立つ。
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\in M_{2n}(\mathbb{R})
\end{equation}
とおく。
$U$は直交行列であるから、
\begin{equation}
\det(U^TMU)=\det M
\end{equation}
である。一方、上の結果より、
\begin{equation}
U^TMU
=
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\
0&A-BJ_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
\det M
=
\det
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\
0&A-BJ_n
\end{pmatrix}.
\end{equation}
ブロック対角行列の行列式は、各対角ブロックの行列式の積であるから、
\begin{equation}
\det M
=
\det(A+BJ_n)\det(A-BJ_n)
\end{equation}
を得る。
したがって、
\begin{equation}
\det
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
=
\det(A+BJ_n)\det(A-BJ_n)
\end{equation}
である。
具体例
最後に、4次の中心対称行列について、上の公式を具体的に確かめてみよう。
次の中心対称行列の行列式を求めてみよう。
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
3&1&1&1\\
2&2&0&1\\
1&0&2&2\\
1&1&1&3
\end{pmatrix}.
\end{equation}
まず、
\begin{equation}
A=
\begin{pmatrix}
3&1\\
2&2
\end{pmatrix},
\qquad
B=
\begin{pmatrix}
1&1\\
0&1
\end{pmatrix},
\qquad
J_2=
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\end{equation}
とおけば、
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_2BJ_2&J_2AJ_2
\end{pmatrix}
\end{equation}
と表される。
ここで、
\begin{equation}
BJ_2=
\begin{pmatrix}
1&1\\
1&0
\end{pmatrix}
\end{equation}
であるから、
\begin{equation}
A+BJ_2=
\begin{pmatrix}
4&2\\
3&2
\end{pmatrix},
\qquad
A-BJ_2=
\begin{pmatrix}
2&0\\
1&2
\end{pmatrix}.
\end{equation}
したがって、偶数次の中心対称行列の行列式の公式より、
\begin{equation}
\begin{aligned}
\det M
&=\det(A+BJ_2)\det(A-BJ_2)\\
&=
\det
\begin{pmatrix}
4&2\\
3&2
\end{pmatrix}
\det
\begin{pmatrix}
2&0\\
1&2
\end{pmatrix}\\
&=(8-6)\cdot4\\
&=8.
\end{aligned}
\end{equation}
となる。
なお、この例でブロック対角行列との相似を与える直交行列$U$は
\begin{equation}
\begin{aligned}
U
&=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
I_2&I_2\\
J_2&-J_2
\end{pmatrix}\\
&=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
1&0&1&0\\
0&1&0&1\\
0&1&0&-1\\
1&0&-1&0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
\end{equation}
である。実際、
\begin{equation}
U^TMU
=
\begin{pmatrix}
4&2&0&0\\
3&2&0&0\\
0&0&2&0\\
0&0&1&2
\end{pmatrix}
\end{equation}
となり、上で求めた
\begin{equation}
A+BJ_2=
\begin{pmatrix}
4&2\\
3&2
\end{pmatrix},
\qquad
A-BJ_2=
\begin{pmatrix}
2&0\\
1&2
\end{pmatrix}
\end{equation}
が対角ブロックとして現れる。
まとめ
$2n$次の中心対称行列は、二つの直交行列$V,W$を用いて
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
\overset{V}{\sim}
\begin{pmatrix}
A&BJ_n\\
BJ_n&A
\end{pmatrix}
\overset{W}{\sim}
\begin{pmatrix}
A+BJ_n&0\\
0&A-BJ_n
\end{pmatrix}
\end{equation}
という二段階の相似により、最終的にブロック対角行列と相似であることが分かる。したがって、
\begin{equation}
\det
\begin{pmatrix}
A&B\\
J_nBJ_n&J_nAJ_n
\end{pmatrix}
=
\det(A+BJ_n)\det(A-BJ_n)
\end{equation}
である。
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