東大数理院試過去問解答例(2021A07)

初めに$M_1$及び$M_2$をそれぞれ位相(i)及び位相(ii)を入れた位相空間$M$とする。さらに$F:M_2\to M_1$を恒等写像とする。また$M_1$における収束$f_i{\stackrel{i\to \mathrm{\infty }}{\to }}_{1}f$は一様収束と同値であり、$M_2$に於ける収束$f_i{\stackrel{i\to \mathrm{\infty }}{\to }}_{2}f$は各点収束と同値である。よって$F^{-1}$は極限を保存し、$M_1$は距離空間(特に第一可算空間)であるから、$F^{-1}$は連続である。次に$M$の関数列$\{f_i\}$及び関数$f\in M$各点収束$f_i{\stackrel{i\to \mathrm{\infty }}{\to }}_{2}f$していたとする。このとき$f_i$の広義単調増加性及び$f$の連続性により、一様連続$f_i{\stackrel{i\to \mathrm{\infty }}{\to }}_{1}f$が従う(cf. 京大RIMS・数学教室2018基礎科目4 )。よって$F$も極限を保存する。ここで点$x$及びそれを含む開区間$I$から定まる$f\in M_2$の開近傍${\mathrm{ev}}_x^{-1}(I)$を取ったとき、$f([x_1,x_2])\subseteq I$なる$x_1\in {\mathbb{Q}}_{<x}$及び$x_2\in {\mathbb{Q}}_{>x}$をとり$V(x_1,x_2,I)={\mathrm{ev}}_{x_1}^{-1}(I)\cap {\mathrm{ev}}_{X_2}^{-1}(I)$とおけば、これは$f$の元の連続性及び広義単調増加性より${\mathrm{ev}}_x^{-1}(I)$に含まれる$f$の開近傍である。よって有理数$a,b$と$\mathbb{R}$の開区間から成る可算基の元$I$から定まる$V(a,b,I)$及びこれらの有限交叉全体の為す集合族は$M_2$の可算開基をなす。以上から$M_2$は第一可算公理を満たすから、極限についての議論と合わせれば$F$の連続性が従う。$F:M_2\to M_1$は同相であるから、$M_1,M_2$は同一の位相空間を定める。