連続した6で割って1余る数の素因数についての面白い事実

(1)
$a_n,a_{n+1},a_{n+2},a_{n+3},a_{n+4}$を$5$で割ったあまりは互いに相異なるのでこの中のちょうど$1$つが$5$で割り切れる.また$5$は$3$で割って$2$余る素数であるので題意は示された.
(2)
無数に存在する.$0$以上の整数$k$に対して
$n_k= \frac{ ((2989+829\sqrt{13})(649+180\sqrt{13})^k +(2989-829\sqrt{13})(649-180\sqrt{13})^k)^2-4 }{96} $
とすれば条件をみたすことを示す.
このとき$n_k=\frac{x(x+1)}{6}$とおけば
$x=\frac{(2989+829\sqrt{13})(649+180\sqrt{13})^k +(2989-829\sqrt{13})(649-180\sqrt{13})^k-2}{4}$
となるが,$$(2989+829\sqrt{13})(649+180\sqrt{13})^k=X_k+\sqrt{13}Y_k$$とすると$2989^2-13×829^2=-12,649^2-13×180^2=1$から
$X^2_k-13Y^2_k=-12$となる.この$X_k$を用いると$x=\frac{X_k-1}{2}$となるが,$X_k$について成り立つ漸化式$$X_{k+1}=649X_k+2340Y_k$$を用いると$X_k$は常に$6$で割って$1$あまることが確認できるのでこのように定義される$x,n_k$は正の整数であることが確認できる.また$X_k$は$5$の倍数でないことも確認できる.このとき
$$f(n_k)=x^2+x+1$$ $$f(n_k+1)=x^2+x+7$$ $$f(n_k+2)=x^2+x+13=13(y^2+y+1)$$ $$f(n_k+3)=x^2+x+19$$
である(ただし$y=\frac{Y_k-1}{2}$であり,これが整数であることは$x$が整数であることと同様に確認できる.)
まず有名事実から整数$n$に対して$n^2+n+1$は$3$で割って$2$あまる素因数をもたないので $f(n_k),f(n_k+2)$は条件をみたす.また$4f(n_k+1)=(2x+1)^2+27$より$f(n_k+1)$を割り切る任意の素数$p$に対して$-27$が$\mod p$において平方剰余となるが,もし$p\equiv 2\pmod 3$ならばこれは平方剰余の相互法則に矛盾.よって$f(n_k+1)$も条件をみたす.同様に$4f(n_k+3)=(2x+1)^2+75$から$f(n_k+3)$を割り切る素数$p$であって$3$で割って$2$あまるものの存在を仮定すると$-75$が$\mod p$において平方剰余であるので$p=5$となるほかない.しかし$X_k$が$5$で割り切れないことから適当な計算によりこれも$5$で割り切れないことが確かめられるので矛盾.以上よりこのように定められた$n_k$が常に条件をみたすことが示されたので条件をみたす$n$は無数に存在する.