関数の説明

関数の基本的概念

関数

関数(fanction)の本質は、機能(働き)である.
　例えば
$f(x)=x^2$または、$y=x^2$の場合
関数は”2乗する”という働きがある

普通は入力口と出力口に、変数$x,y$を用いて$y=f(x)$と記す.
一般に、$f$が集合Aの各元$a$に集合Bの元$f(a)$を対応させる関数であることを、
$f:{A}\rightarrow{B}$または$A\rightarrow^{f}{B}$
などを記し、A,BおよびBの部分集合{$f(x)|\in{A}$}を、それぞれ、関数$f$の定義域・終域・値域と呼ぶ.
定義域、値域

合成関数・逆関数

合成関数

$y=\sqrt{x+3}$
という関数において、
$y=\sqrt{u}$と$u=x+3$とする.
$y=f(u),u=g(x)$とすると、
$y=f(g(x))=\sqrt{x+3}$となる.
このような関数を合成関数という.
また、このような関数を、
$(f \circ g)(x)$
と表す.

逆関数

$y=2x-3$
という関数において
$y$の値が当然決まるが、逆に$y$の一つの値が決まると、$x$の値が必ず1つだけ決まる:
$x=\frac{y+3}{2}$
一般に、関数$f:A\rightarrow{B}$で、各$x\in{B}$に対して、$x=f(y)$なる$y\in{A}$がただ一つ存在する関数を逆関数という.
$y=f^{-1}(x)\Leftrightarrow{x=f(y)}$

関数の極限

$\lim_{x\rightarrow{1}}f(x)$
この式の意味は$y=f(x)$の関数を$x=1$の値に近づけることを意味する.また、$x=1$に近づけるだけであって、$x=1$にはならない($x\neq{1}$).
$\lim_{x\rightarrow1+0}f(x)$
この式の意味は$y=f(x)$の関数を$x=1$の値に正の方向から近づけることを意味する.また、$x=1$に近づけるだけであって、$x=1$にはならない($x\neq{1}$).
$\lim_{x\rightarrow1-0}f(x)$
この式の意味は$y=f(x)$の関数を$x=1$の値に負の方向から近づけることを意味する.また、$x=1$に近づけるだけであって、$x=1$にはならない($x\neq{1}$).

関数の連続・微分可能

連続と微分可能との関係

連続と微分可能の関係
このように微分可能である場合は関数が連続とはいえるが、関数が連続であっても必ず微分可能なわけではない.

関数の連続性

そもそも関数の連続性とは？

関数の連続性は$x=a$の点において、関数が続いているか、いないかを判断するものです.
不連続の関数
このように$x=a$で連続ではない(つながってない)関数を不連続関数という.

関数の連続性の証明

関数の連続性の証明は、
$y=f(x)$において、$x=1$で連続であることを証明するためには
$\lim_{x\rightarrow1-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow1+0}f(x)$
また、$ ε-δ$論法で示すこともできる.

例題1

$f(x)=\frac{1}{x}$において、$x=0$での連続であるかを調べなさい.

⃣解答

$f(x)=\frac{1}{x}$において、$x=0$における連続性は
$\lim_{x\rightarrow0-0}f(x)=-\infty$
$\lim_{x\rightarrow0+0}f(x)=+\infty$
よって、
$\lim_{x\rightarrow0-0}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow0+0}f(x)$から
$f(x)=\frac{1}{x}$は$x=0$において不連続である.

$\epsilon-\delta$論法

$x>0$で定義される$f(x)=\frac{1}{x}$は$x=1$で連続である.

解答

$\epsilon>0$に対して$\delta=\frac{\epsilon}{\epsilon+1}$と定めると
$|\frac{1}{x}-\frac{1}{1}|=\frac{|x-1|}{x}<\frac{\delta}{x}<\frac{\delta}{\delta-1}=\epsilon$
よって、連続性が示された.

微分可能

微分可能
微分とは、$x$と$x+h({h}\rightarrow0)$の変化の割合である.
変化の割合は$\frac{\delta{y}}{\delta{x}}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}$で表すことができる.
そこで、$h\rightarrow0$にすると
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
という形になり、微分の公式になります.