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東大数理院試過去問解答例(2019B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2019B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2019B01

多項式環Fp[X]をとり、集合
S:={AFp[X]|A は Fp[X] の部分Fp-代数で、dimFpFp[X]/T=1}
を考える。
(1) Sは有限集合であることを示し、その濃度を求めなさい。
(2) Sの元として現れる環の同型類の個数を求めなさい。

  1. 初めにA1次式を含まない。次に2次式を一切含んでいないとする。このときx及びx2Fp[X]/Aで線型独立になってしまうから、Aはある2次式を含む。同様の議論からAはある3次式も含む。この2次式及び3次式をf及びgとする。このときFp[f,g]Aの部分環を定めている。ここで組{1,x,figj}i,jNFp-線型空間としてFp[X]を生成するから、dimFpFp[X]/Fp[f,g]=1であり、これによってA=Fp[f,g]が従う。以上からSの濃度はFp係数2次多項式及び3次多項式の組の個数以下であるから、特に有限集合である。
    次に濃度を求めていく。A=Fp[f,g]なるf,gをとったとき、これは定数項及びg2次の項を引いてf=X2aX及びg=X3bXと取ることができる。ここでこのように取った2次式f1=X2a1X,f2=X2a2X及び3次式g1=X3b1X,g2=X3b2XについてFp[F1,g1]=Fp[f2,g2]が成り立っていたとすると、f1f2及びg1g21次式になってはいけないので、a1=a2及びb1=b2が従う。以上の議論から写像
    Fp×FpS(a,b)Fp[X2aX,X3bX]
    は全単射であることがわかるから、|S|=p2である。
  2. まずp2とする。このとき全てのASは、ある適切なaFpについてXXaに移すようなFp[X]の自己同型によってX2とある3次式で生成される部分代数に移る。よってSの元の同型類は全てFp[X2,X3cX]の形をした元で代表される。
    次にX2fに、X3cXgに送るような環準同型Fp[X2,X3cX]Fp[X]があったすると、このときg2=f(fc)2が満たされているから、このときあるhFp[X]を用いてf=h2が満たされていて、結局このような環準同型はXhの形をしていることがわかる。ここで環同型A=Fp[X2,X3cX]B=Fp[X2,X3dX]があったとする。このときh2次以上のときBSであるから、h1次でなければならない。1次式hh2Bを満たすにはh=sXの型をしている必要がある。このときX3s3(X3cs2X)に移るから、ABの間に環同型が存在するためには、
    sFp× s.t. c=s2d
    が満たされていることが必要充分である。以上からSに含まれる同型類の個数は1+p12=p+12であることがわかる。
    一方p=2のとき、環同型
    F2[X2,X3cX]F2[X2bX,X3dX]
    が存在したとすると、前半と同様の議論からXhなる1次式hの存在が言えるが、hの形に関わらずh21次係数は0なので、このときb=0かつc=dであることが従う。次に環同型
    F2[X2X,X3X]F2[X2X,X3]
    が存在したとする。このときX2X及びX3Xの送り先をf,gとするとこれはf3=g(fg)を満たしていることから、ある多項式hを用いてf=h2h及びg=h2(h1)とおくことができる。よってこの同型はある1次式hを用いてXh1と表すことができる。ここでXXaに移るとすると、X3XX33aX2+(3a21)X(a3+a)=X3aX2+(a21)Xに送られ、これはX2X及びX3+(a2+a+1)x=X3Xで生成される環に移される。以上から上記のような環同型は存在しないことがわかる。ここまでの議論からF2[X2aX,X3bX](ここでa,bF2)
    と表される4つのF2-代数はどの二つも同型でないことがわかる。以上からp=2のときSに含まれる同型類の個数は4個である。

問題中では環同型
A=Fp[X3aX,X2bX]B=Fp[X3cX,X2dX]
が(存在するとすれば)同型Fp[X]Fp[X]に延長されることを愚直に示しました。しかしAの商体KFp(X)及びBの商体LFp(X)を取ったとき、K及びLは実はFp(X)に等しいことを用いれば、この同型を商体に延長して、それをA及びBK及びLに於ける整閉包(つまりFp[X])に制限することでもう少しスマートに示すこともできます。

投稿日:20231014
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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