ここでは東大数理の修士課程の院試の2019B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2019B01
多項式環をとり、集合
を考える。
(1) は有限集合であることを示し、その濃度を求めなさい。
(2) の元として現れる環の同型類の個数を求めなさい。
- 初めには次式を含まない。次に次式を一切含んでいないとする。このとき及びはで線型独立になってしまうから、はある次式を含む。同様の議論からはある次式も含む。この次式及び次式を及びとする。このときはの部分環を定めている。ここで組は-線型空間としてを生成するから、であり、これによってが従う。以上からの濃度は係数次多項式及び次多項式の組の個数以下であるから、特に有限集合である。
次に濃度を求めていく。なるをとったとき、これは定数項及びの次の項を引いて及びと取ることができる。ここでこのように取った次式及び次式についてが成り立っていたとすると、及びは次式になってはいけないので、及びが従う。以上の議論から写像
は全単射であることがわかるから、である。 - まずとする。このとき全てのは、ある適切なについてをに移すようなの自己同型によってとある次式で生成される部分代数に移る。よっての元の同型類は全ての形をした元で代表される。
次にをに、をに送るような環準同型があったすると、このときが満たされているから、このときあるを用いてが満たされていて、結局このような環準同型はの形をしていることがわかる。ここで環同型があったとする。このときが次以上のときであるから、は次でなければならない。次式がを満たすにはの型をしている必要がある。このときはに移るから、との間に環同型が存在するためには、
が満たされていることが必要充分である。以上からに含まれる同型類の個数はであることがわかる。
一方のとき、環同型
が存在したとすると、前半と同様の議論からなる次式の存在が言えるが、の形に関わらずの次係数はなので、このときかつであることが従う。次に環同型
が存在したとする。このとき及びの送り先をとするとこれはを満たしていることから、ある多項式を用いて及びとおくことができる。よってこの同型はある次式を用いてと表すことができる。ここでがに移るとすると、はに送られ、これは及びで生成される環に移される。以上から上記のような環同型は存在しないことがわかる。ここまでの議論から(ここで)
と表されるつの-代数はどの二つも同型でないことがわかる。以上からのときに含まれる同型類の個数は個である。
問題中では環同型
が(存在するとすれば)同型に延長されることを愚直に示しました。しかしの商体及びの商体を取ったとき、及びは実はに等しいことを用いれば、この同型を商体に延長して、それを及びの及びに於ける整閉包(つまり)に制限することでもう少しスマートに示すこともできます。