正則ではない有限Borel測度

(a)簡単な集合の計算で分かる.

(b)下限の定義から任意の$n\in \mathbb{N}$に対しある$B_n\in \mathcal{A}$が存在して$A\subseteq B_n$,$\mu (B_n)-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\mu }^{\ast }(A)$を満たす.よって$A_1={\displaystyle \bigcap _n{B}_n}$とおくと$\mu (A_1)\le \mu (B_n)<{\mu }^{\ast }(A)+{\displaystyle \frac{1}{n}}$.自然数$n$は任意だから$\mu (A_1)\le {\mu }^{\ast }(A)$.一方$A\subseteq A_1$だから外測度の単調性から${\mu }^{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(A_1)=\mu (A_1)$となり結論を得る.同様に$A_0$の存在も分かる.

(c)$k=1,2$に対し${\mu }^{\ast }(C_1\cap A_k)>{\mu }^{\ast }(C\cap A_k)$であると仮定する.
$\mu (C_1)=\mu (C_1\cap A_k)+\mu (C_1\mathrm{\setminus }{A}_k)$
$={\mu }^{\ast }(C_1\cap A_k)+{\mu }^{\ast }(C_1\mathrm{\setminus }{A}_k)$
$>{\mu }^{\ast }(C\cap A_k)+{\mu }^{\ast }(C\mathrm{\setminus }{A}_k)$
$\ge {\mu }^{\ast }(C)=\mu (C_1)$
となり矛盾する.よって${\mu }^{\ast }(C_1\cap A_k)={\mu }^{\ast }(C\cap A_k)$.これと仮定から示される.

(d)$B=B^{\prime }\cap C$,$B^{\prime }\in \mathcal{A}$とおく.${\mu }_C(B)=\mu (B^{\prime }\cap C_1)$が$\{\mu (A)|B\subseteq A,A\in \mathcal{A}\}$の最小値であればよい.$B\subseteq A,A\in \mathcal{A}$とする.$B^{\prime }\cap C=B^{\prime }\cap A\cap C$なので(c)から$\mu (B^{\prime }\cap C_1)=\mu (B^{\prime }\cap A\cap C_1)\le \mu (A)$となりいえた.

(e)$A_n\cap C\in {\mathcal{A}}_C$,$A_n\in \mathcal{A}$($n=1,2,\dots$),$A_n\cap A_m\cap C=\varphi$($n\ne m$)とする.
$\mu ((A_1\cap C_1)\cup ({\displaystyle \bigcup _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cap C_1))}$
$=\mu (A_1\cap C_1)+\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cap C_1))-\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(A_1\cap A_k\cap C_1))}}$
ここで
$\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=2}^{\mathrm{\infty }}(A_1\cap A_k\cap C_1))\le \sum \mu ({\displaystyle A_1\cap A_k\cap C_1)}}$
$=\sum {\mu }^{\ast }(A_1\cap A_k\cap C)=0$.
帰納的に
$\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cap C_1))={\displaystyle \sum _{k=1}^n\mu (A_k\cap C_1)+\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cap C_1))}}}$
有限測度だから
$\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cap C_1))\to 0(n\to \mathrm{\infty })}$であり
$\mu ({\displaystyle \bigcup _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(A_k\cap C_1))={\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_k\cap C_1)}}$
示された.

まず$A\in {\mathcal{A}}_{\mu }$であるとする.完備化の定義からある$E,F\in \mathcal{A}$が存在して$E\subseteq A\subseteq F$,$\mu (F\mathrm{\setminus }E)=0$を満たす.このとき
$\mu (E)\le {\mu }_{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(A)\le \mu (F)=\mu (E)$.

逆に${\mu }^{\ast }(A)={\mu }_{\ast }(A)$を仮定する.$n\in \mathbb{N}$に対しある$B_n,C_n\in \mathcal{A}$が存在して$B_n\subseteq A\subseteq C_n$,
$\mu (B_n)-{\displaystyle \frac{1}{n}}<{\mu }_{\ast }(A)\le {\mu }^{\ast }(A)<\mu (C_n)+{\displaystyle \frac{1}{n}}$を満たす.
$B={\displaystyle \bigcup _n{B}_n}$,$C={\displaystyle \bigcap _n{C}_n}$とおくとこれらは$\mathcal{A}$の元で$B\subseteq A\subseteq C$を満たし任意の$n\in \mathbb{N}$に対し
$\mu (C\mathrm{\setminus }B)\le \mu (C_n\mathrm{\setminus }{B}_n)\to 0$
なので$A\in \mathcal{A}$.

$\mu (C)={\mu }_{\ast }(C)=\text{sup}\{\mu (B)|B\subseteq C,B\in {\mathcal{A}}_C:\text{cpt}\}$なら命題$3$により$C$がルベーグ可測となり矛盾する.