ゼータ関数の特殊値を計算するお話

\begin{align*} f(x)=x^2\quad (-\pi\le x\le\pi) \end{align*}
をフーリエ級数展開する。このとき、
\begin{align*} a_k&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos\frac{2\pi kx}{2\pi}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(kx)dx\\ b_k&=\frac{2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin\frac{2\pi kx}{2\pi}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(kx)dx \end{align*}
ここで、$b_k$は奇関数のため、積分値は$0$とわかる。なので$a_k$のみ頑張ればよい。$a_k$は部分積分を繰り返すことで計算され、実際に計算すると
\begin{align*} a_k&=\frac{1}{\pi}\frac{4}{k^2}\pi\cos(k\pi)\\ &=\frac{4}{k^2}(-1)^{k} \end{align*}
また、$a_0$は
\begin{align*} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx\\ &=\frac{2}{3}\pi^2 \end{align*}
以上より、$f(x)$は次の様にフーリエ級数展開できることがわかる。
\begin{align*} f(x)=\frac{1}{2}\frac{2}{3}\pi^2+\sum_{k=1}^{\infty}\cos(kx)\cdot\frac{4}{k^2}(-1)^{k} \end{align*}
ここで$x=\pi$とすると、$f(x)=x^2$であったため、
\begin{align*} \pi^2&=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{k^2}\\ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}&=\frac{1}{6}\pi^2\\ \zeta(2)&=\frac{\pi^2}{6} \end{align*}
なんと、きれいにゼータ関数の形が表れ、求まりました。この方法で$\zeta(4),\zeta(6),\zeta(8)$を計算したいと思います。また、それらの過程でも$b_k$は$0$であり、残る積分も部分積分を繰り返すことで計算できるので、細かな計算は省きたいと思います。

\begin{align*} f(x)=x^4\quad(-\pi\le x\le\pi) \end{align*}
これをフーリエ級数展開する。このとき、$\zeta(2)$と同様に$b_k$は$0$である。よって
\begin{align*} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(kx) \end{align*}
$a_0$を計算すると、
\begin{align*} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{2}{5}\pi^5\\ &=\frac{2}{5}\pi^4 \end{align*}
また、$a_k$は部分積分を繰り返すことで次のように計算できる。
\begin{align*} a_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\cos(kx)dx\\ &=\frac{1}{\pi}\left(\frac{8}{k^2}\pi^3\cos(k\pi)-\frac{48}{k^4}\pi\cos(k\pi)\right)\\ &=\frac{8}{k^2}\pi^2(-1)^{k}-\frac{48}{k^4}(-1)^{k} \end{align*}
以上より、
\begin{align*} x^4&=\frac{1}{2}\frac{2}{5}\pi^4+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{8}{k^2}\pi^2(-1)^{k}-\frac{48}{k^4}(-1)^{k}\right)\cos(kx) \end{align*}
が言え、このとき$x=\pi$とすると、
\begin{align*} \pi^4&=\frac{\pi^4}{5}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{8}{k^2}\pi^2-\frac{48}{k^4}\\ \end{align*}
また、$\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$を用いてこれを整理すると、
\begin{align*} \frac{4}{5}\pi^4&=8\pi^2\zeta(2)-48\zeta(4)\\ 48\zeta(4)&=\frac{8}{6}\pi^4-\frac{4}{5}\pi^4\\ &=\frac{8}{15}\pi^4\\ \zeta(4)&=\frac{\pi^4}{90} \end{align*}
よって値を導出することができた。

\begin{align*} f(x)=x^6\quad(-\pi\le x\le\pi) \end{align*}
をフーリエ級数展開する。このとき、$\zeta(2)$の場合と同様に$b_k$は$0$であり、$a_k$のみ計算すればよい。よって、
\begin{align*} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(kx) \end{align*}
$a_0$を計算すると、
\begin{align*} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^6dx\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{2}{7}\pi^7\\ &=\frac{2}{7}\pi^6 \end{align*}
また、$a_k$は部分積分を繰り返すことで次の様に計算できる。
\begin{align*} a_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^6\cos(kx)dx\\ &=\frac{1}{\pi}\left(\frac{12}{k^2}\pi^5\cos(k\pi)-\frac{240}{k^4}\pi^3\cos(k\pi)+\frac{1440}{k^6}\pi\cos(k\pi)\right)\\ &=\frac{12}{k^2}\pi^4(-1)^{k}-\frac{240}{k^4}\pi^4(-1)^{k}+\frac{1440}{k^6}(-1)^{k} \end{align*}
以上より、
\begin{align*} x^6&=\frac{1}{2}\frac{2}{7}\pi^6+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{12}{k^2}\pi^4(-1)^{k}-\frac{240}{k^4}\pi^4(-1)^{k}+\frac{1440}{k^6}(-1)^{k}\right)\cos(kx) \end{align*}
がわかる。このとき、$x=\pi$とすると
\begin{align*} \pi^6&=\frac{\pi^6}{7}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{12}{k^2}\pi^4-\frac{240}{k^4}\pi^4+\frac{1440}{k^6}\\ \end{align*}
$\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\:,\:\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$を踏まえてこれを整理すると、
\begin{align*} \frac{6}{7}\pi^6&=12\pi^4\zeta(2)-240\pi^2\zeta(4)+1440\zeta(6)\\ 1440\zeta(6)&=\frac{6}{7}\pi^6-\frac{12}{6}\pi^6+\frac{240}{90}\pi^6\\ &=\frac{32}{21}\pi^6\\ \zeta(6)&=\frac{\pi^6}{945} \end{align*}

\begin{align*} f(x)=x^8\quad(-\pi\le x\le\pi) \end{align*}
をフーリエ級数展開する。このとき、$\zeta(2)$の場合と同様に$b_k$は$0$であるため$a_k$に注目すればよい。よって、
\begin{align*} f(x)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(kx) \end{align*}
と展開できる。ここで、$a_0$は
\begin{align*} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^8dx\\ &=\frac{1}{\pi}\frac{2}{9}\pi^9\\ &=\frac{2}{9}\pi^8 \end{align*}
また、$a_k$は部分積分を繰り返すことで計算でき、実際に計算すると次の様になる。
\begin{align*} a_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^8\cos(kx)dx\\ &=\frac{1}{\pi}\left(\frac{16}{k^2}\pi^7\cos(k\pi)-\frac{672}{k^4}\pi^5\cos(k\pi)+\frac{13440}{k^6}\pi^3\cos(k\pi)-\frac{80640}{k^8}\pi\cos(k\pi)\right)\\ &=\frac{16}{k^2}\pi^6\cos(k\pi)-\frac{672}{k^4}\pi^4\cos(k\pi)+\frac{13440}{k^6}\pi^2\cos(k\pi)-\frac{80640}{k^8}\cos(k\pi) \end{align*}
以上より、
\begin{align*} x^8&=\frac{1}{2}\frac{2}{9}\pi^8+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{16}{k^2}\pi^6\cos(k\pi)-\frac{672}{k^4}\pi^4\cos(k\pi)+\frac{13440}{k^6}\pi^2\cos(k\pi)-\frac{80640}{k^8}\cos(k\pi)\right)\cos(kx) \end{align*}
とフーリエ級数展開できる。ここで、$x=\pi$とすると、
\begin{align*} \pi^8&=\frac{\pi^8}{9}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{16}{k^2}\pi^6-\frac{672}{k^4}\pi^4+\frac{13440}{k^6}\pi^2-\frac{80640}{k^8} \end{align*}
この式について、$\displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\:,\:\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\:,\:\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}$を踏まえて計算をすると、
\begin{align*} \frac{8}{9}\pi^8&=16\pi^6\zeta(2)-672\pi^4\zeta(4)+13440\pi^2\zeta(6)-80640\zeta(8)\\ 80640\zeta(8)&=-\frac{8}{9}\pi^8+\frac{16}{6}\pi^8-\frac{672}{90}\pi^8+\frac{13440}{945}\pi^8\\ &=\frac{128}{15}\pi^8\\ \zeta(8)&=\frac{\pi^8}{9450} \end{align*}