可換環論の勘どころ 1.1-(2)

可換環論

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

定義1.18より，特に $Ker f$ はイデアル．

補題1.19

テキストに載っている

問題1.20

空集合でないことはあきらか． $x, y \in I$ に対して， $x \in I_{i}, y \in I_{j}$ とする．包含関係より， $x \in I_{j}$ または $y \in I_{i}$ が成り立つので $I_{i}, I_{j}$ がイデアルであることから， $x + y \in I$ ．イデアルなので $a x \in I_{i} \subset I$ も成り立つので $I$ は環のイデアルである．
$I + J$ がイデアルであることはまぁ明らかであろう， $I \cap J$ がイデアルであることもまぁ明らかであろう（ $I \cap J \neq ϕ$ は $0$ がいることから従う）． $b = 0$ とすれば $I + J \supset I$ ， $a = 0$ とすれば $I + J \supset J$ なので $I \cup J \subset I + J$ もわかる．
定義より $I J$ がイデアルになることはすぐにわかる． $I, J$ がイデアルなので $a_{i} b_{i}$ は $I$ の元でもあり， $J$ の元でもある．よって $I J \subset I \cap J$

問題1.21

$x_{i} = 1$ ， $x_{j} = 0$ （ $j \neq i$ ）とすれば明らか
環の演算の分配法則からまぁ明らか．
任意に $x \in I$ を取ってくる． $x = x_{1} a_{1} + \dots x_{n} a_{n}$ と書ける． $J$ はイデアルなので， $x_{i} a_{i} \in J$ よって再び $J$ がイデアルであることから $x \in J$

問題1.22

$I = (a_{1}, \dots, a_{n})$ ， $J = (b_{1}, \dots, b_{m})$ とする．イデアルの和や積の定義に戻ってみてみると，有限生成性を表す元として $I + J$ は $a_{1}, \dots a_{n}, b_{1}, \dots, b_{m}$ が取れ， $I J$ は $a_{i} b_{j}$ （ $1 \leq i \leq n$ ， $1 \leq j \leq m$ ）が取れるので，有限生成である．

命題1.23

これはイデアルの定義から明らかでしょう．

問題1.24

可換環にしか興味がないので（今は）省略

定理1.25

テキストに載っている

問題1.27

$(a + b)^{p}$ を展開すれば $p$ の倍数のところがたくさん出てきてこれが $0$ となることを考慮すれば証明完了．

定理1.28

$\overset{―}{r} \cdot \overset{―}{a} = \overset{―}{r a}$ ， $\overset{―}{a} + \overset{―}{b} = \overset{―}{a + b}$ で， $J$ がイデアルであることから明らか．
$\overset{―}{r a} = \overset{―}{r} \cdot \overset{―}{a}$ ， $\overset{―}{a + b} = \overset{―}{a} + \overset{―}{b}$ で， $K$ がイデアルであることから明らか． $I \subset f^{- 1} (K)$ は $0 \in K$ より明らか．
テキストに載っている
$J_{1} \subset J_{2} \Rightarrow f (J_{1}) \subset f (J_{2})$ は写像の性質から明らか． $f (J_{1}) \subset f (J_{2})$ かつ $J_{1} ⊄ J_{2}$ とする． $a \in J_{1}$ で $a \notin J_{2}$ であるものがある．仮定より， $\overset{―}{a} \in f (J_{2})$ なので， $a \in f^{- 1} (\overset{―}{a}) \subset J_{2}$ （矛盾）