可換環論の勘どころ 1.1-(2)

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1. 空集合でないことはあきらか．$x,y\in I$に対して，$x\in I_i,y\in I_j$とする．包含関係より，$x\in I_j$または$y\in I_i$が成り立つので$I_i,I_j$がイデアルであることから，$x+y\in I$．イデアルなので$ax\in I_i\subset I$も成り立つので$I$は環のイデアルである．
2. $I+J$がイデアルであることはまぁ明らかであろう，$I\cap J$がイデアルであることもまぁ明らかであろう（$I\cap J\neq\phi$は$0$がいることから従う）．$b=0$とすれば$I+J\supset I$，$a=0$とすれば$I+J\supset J$なので$I\cup J\subset I+J$もわかる．
3. 定義より$IJ$がイデアルになることはすぐにわかる．$I,J$がイデアルなので$a_ib_i$は$I$の元でもあり，$J$の元でもある．よって$IJ\subset I\cap J$

1. $x_i=1$，$x_j=0$（$j\neq i$）とすれば明らか
2. 環の演算の分配法則からまぁ明らか．
3. 任意に$x\in I$を取ってくる．$x=x_1a_1+\cdots x_na_n$と書ける．$J$はイデアルなので，$x_ia_i\in J$よって再び$J$がイデアルであることから$x\in J$

$I=(a_1,\cdots,a_n)$，$J=(b_1,\cdots,b_m)$とする．イデアルの和や積の定義に戻ってみてみると，有限生成性を表す元として$I+J$は$a_1,\cdots a_n,b_1,\cdots,b_m$が取れ，$IJ$は$a_ib_j$（$1\leq i\leq n$，$1\leq j\leq m$）が取れるので，有限生成である．

これはイデアルの定義から明らかでしょう．

可換環にしか興味がないので（今は）省略

テキストに載っている

$(a+b)^p$を展開すれば$p$の倍数のところがたくさん出てきてこれが$0$となることを考慮すれば証明完了．

1. $\overline{r}\cdot\overline{a}=\overline{ra}$，$\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}$で，$J$がイデアルであることから明らか．
2. $\overline{ra}=\overline{r}\cdot \overline{a}$，$\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$で，$K$がイデアルであることから明らか．$I\subset f^{-1}(K)$は$0\in K$より明らか．
3. テキストに載っている
4. $J_1\subset J_2\Rightarrow f(J_1)\subset f(J_2)$は写像の性質から明らか．$f(J_1)\subset f(J_2)$かつ$J_1\not\subset J_2$とする．$a\in J_1$で$a\notin J_2$であるものがある．仮定より，$\overline{a}\in f(J_2)$なので，$a\in f^{-1}(\overline{a})\subset J_2$（矛盾）

$g$が準同型なのは$f$の準同型性から明らか．$f=gh$なのは$g$の定義がそもそもそうなっていることに由来する．あと，全射は右簡約可能．

テキストに載っている

準同型定理を使う．