Searsの変換公式から得られるq有限モーメントの表示

$abcq^{1-N}=def$とする. Searsの変換公式
\begin{align} \Q43{a,b,c,q^{-N}}{d,e,f}{q}&=\frac{(e/a,f/a;q)_N}{(e,f;q)_N}a^N\Q43{a,d/b,d/c,q^{-N}}{d,aq^{1-N}/e,aq^{1-N}/f}{q} \end{align}
より

\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(d,e,f,q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(e/a,f/a;q)_N}{(e,f;q)_N}a^N\sum_{n=0}^N\frac{(a,d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{1-N}/e,aq^{1-N}/f,q;q)_n}q^n-\frac{(a,b,c,q^{-N};q)_N}{(d,e,f,q;q)_N}q^N\\ &=\frac{a^N}{(e,f;q)_N}\left((e/a,f/a;q)_N\sum_{n=0}^N\frac{(a,d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{1-N}/e,aq^{1-N}/f,q;q)_n}q^n-\frac{(q^{1-N}/a,b,c;q)_N}{(d;q)_N}\right) \end{align}
ここで, $q$-Saalschützの和公式 より,
\begin{align} \sum_{n=0}^N\frac{(d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{2-2N}/ef,q;q)_n}q^n&=\frac{(b,c;q)_N}{(d,bc/d;q)_N}=\frac{(b,c;q)_N}{(d,efq^{N-1}/a;q)_N} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(d,e,f,q;q)_n}q^n\\ &=\frac{a^N}{(e,f;q)_N}\left((e/a,f/a;q)_N\sum_{n=0}^N\frac{(a,d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{1-N}/e,aq^{1-N}/f,q;q)_n}q^n-(q^{1-N}/a,efq^{N-1}/a;q)_N\sum_{n=0}^N\frac{(d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{2-2N}/ef,q;q)_n}q^n\right) \end{align}
を得る. ここで, $f\to q^{1-N}$とすると,

\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c;q)_n}{(d,e,q;q)_n}\frac{1-q^{-N}}{1-q^{n-N}}q^n\\ &=-\frac{(e/a,q^{1-N}/a;q)_Na^N}{(e;q)_N(q^{1-N};q)_{N-1}}\sum_{n=0}^N\frac{(d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{1-N}/e,q;q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\left(-\sum_{k=0}^{N-1}\frac{q^{k+1-N}/a}{1-q^{k+1-N}/a}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^k}{1-aq^k}+\sum_{k=0}^{N-1}\frac{eq^k/a}{1-eq^k/a}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^{k+1-N}/e}{1-aq^{k+1-N}/e}\right)\\ &=\frac{(a,e/a;q)_N}{(q;q)_{N-1}(e;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{1-N}/e,q;q)_n}q^n\\ &\qquad\cdot\left(\sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{1-aq^k}-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^k}{1-aq^k}-\sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{1-aq^{k+1-N}/e}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{aq^{k+1-N}/e}{1-aq^{k+1-N}/e}\right)\\ &=\frac{(a,e/a;q)_N}{(q;q)_{N-1}(e;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(d/b,d/c,q^{-N};q)_n}{(d,aq^{1-N}/e,q;q)_n}q^n\sum_{k=n}^{N-1}\left(\frac{1}{1-aq^k}-\frac{1}{1-aq^{k+1-N}/e}\right)\\ \end{align}
よって以下を得る.

もう一つのSearsの変換公式
\begin{align} \Q43{a,b,c,q^{-N}}{d,e,abcq^{1-N}/de}{q}&=\frac{(a,de/ab,de/ac;q)_N}{(d,e,de/abc;q)_N}\Q43{d/a,e/a,de/abc,q^{-N}}{de/ab,de/ac,q^{1-N}/a}{q} \end{align}
についても, $t:=de/abc$として,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(d,e,q^{1-N}/t,q;q)_n}q^n\\ &=\frac{(a,bt,ct;q)_N}{(d,e,t;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(d/a,e/a,t,q^{-N};q)_n}{(bt,ct,q^{1-N}/a,q;q)_n}q^n-\frac{(a,b,c,q^{-N};q)_N}{(d,e,q^{1-N}/t,q;q)_N}q^N\\ &=\frac{(a;q)_N}{(d,e,t;q)_N}\left((bt,ct;q)_N-(b,c;q)_Nt^N\right)+\frac{(a,bt,ct;q)_N}{(d,e,t;q)_N}\sum_{n=1}^{N}\frac{(d/a,e/a,t,q^{-N};q)_n}{(bt,ct,q^{1-N}/a,q;q)_n}q^n \end{align}
となる. $t\to 1$とすると,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(a,b,c;q)_n}{(d,e,q;q)_n}q^n\frac{1-q^{-N}}{1-q^{n-N}}\\ &=-\frac{(a,b,c;q)_N}{(d,e;q)_N(q;q)_{N-1}}\left(-\sum_{n=0}^{N-1}\left(\frac{bq^n}{1-bq^n}+\frac{cq^n}{1-cq^n}\right)-N\right)\\ &\qquad+\frac{(a,b,c;q)_N}{(d,e;q)_N(q;q)_{N-1}}\sum_{n=1}^{N}\frac{(d/a,e/a,q^{-N};q)_n}{(1-q^n)(b,c,q^{1-N}/a;q)_n}q^n \end{align}
よって以下を得る.

古典極限

定理1, 定理2において$q\to 1$とすると, 以下を得る.