整数と有理数の定義

自然数から整数と有理数の定義を試みる。

自然数とは言うものの、ペアノの公理から出発する。
(N,suc)はペアノの公理を満たすとする。
sucはNの後者写像。

ペアノの公理からは自然に大小関係、加法、乗法、最小元が導かれ、
それぞれ、ordN,addN,mulN,oNとする。
最小元は加法の単位元（零元）になる。
乗法の単位元は、eN:=suc(oN)

■整数全体の定義

(x,y),(u,v)∈N×Nに次のような同値関係を定義する。
(x,y)～(u,v) :⇔ addN(x,v)=addN(u,y)
※同値関係になっていることは証明しないといけないが省略

同値類を次のように定義する。
x,y∈Nに対して、
[x,y] := { (u,v) | (u,v)∈N×N ∧ (u,v)～(x,y) }

Z := { [x,y] | x,y∈N }
Zは整数全体になる。

ちなみに同値関係の性質から
∀x∀y∀u∀v([x,y]≠[u,v] ⇒ ([x,y]∩[u,v])=∅)

[,]の性質から
∀x∀y∀z(x,y,z∈N ⇒ [addN(x,z),addN(y,z)]=[x,y])

Zの大小関係
ordZ := { ([x,z],[y,z]) | (x,y)∈ordN ∧ z∈N }

Zの加法
addZ := { (([x,y],[u,v]),[addN(x,u),addN(y,v)]) | x,y,u,v∈N }

Zの乗法
mulZ := { (([x,y],[u,v]),[addN(mulN(x,u),mulN(y,v)),addN(mulN(x,v),mulN(y,u))]) | x,y,u,v∈N }

(Z,addZ)の単位元
oZ := [oN,oN]

(Z,mulZ)の単位元
eZ := [eN,oN]

(Z,addZ)は可換群、
(Z,mulZ)は単位的可換半群、
((Z,addZ),mulZ)は単位的可換環、
になる。

■有理数全体の定義

(x,y),(u,v)∈Z×Zに次のような同値関係を定義する。
(x,y)~~(u,v) :⇔ mulZ(x,v)=mulZ(u,y)
※同値関係になっていることは証明しないといけないが省略

同値類を次のように定義する。
x,y∈Zに対して、
<x,y> := { (u,v) | (u,v)∈Z×Z ∧ (u,v)~~(x,y) }

まず正の整数全体を定義しておく。
Z+ := { x | x∈Z ∧ (oZ,x)∈ordZ ∧ x≠oZ }

Q := { <x,y> | x∈Z ∧ y∈Z+ }
とおけば、Qは有理数全体になる。
分母に当たる右項は正の整数に限定する方が順序関係を考える場合便利です。
正の整数全体は積閉集合になっていてQの構成に使用可です。
順序関係を扱わないときは、Zの非零因子全体、つまり、Z＼{oZ}を右項に利用する方が便利のようです。

<*,*>の性質から
∀x∀y∀z((x,y∈Z ∧ z∈Z+) ⇒ <mulZ(x,z),mulZ(y,z)>=<x,y>)

Qの大小関係
ordQ := { (<x,z>,<y,z>) | (x,y)∈ordZ ∧ z∈Z+ }

Qの加法
addQ := { ((<x,y>,<u,v>),<addZ(mulZ(x,v),mulZ(u,y)),mulZ(y,v)>) | x,u∈Z ∧ y,v∈Z+ }

Qの乗法
mulQ := { ((<x,y>,<u,v>),<mulZ(x,u),mulZ(y,v)>) | x,u∈Z ∧ y,v∈Z+ }

(Q,addQ)の単位元
oQ := <oZ,eZ>

(Q,mulQ)の単位元
eQ := <eZ,eZ>

(Q,addQ)は可換群、
(Q,mulQ)は単位的可換半群、
(Q＼{oQ},mulQ)は可換群、
((Q,addQ),mulQ)は単位的可換環
となる。