Bessel関数とHankel変換

Bessel関数

Bessel関数は
\begin{align*} J_a(x):=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+a+1)}\left(\frac x2\right)^{2n+a} \end{align*}
によって定義される. そして三角関数は,
\begin{align*} \cos(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\\ \sin(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{align*}
と級数展開される. Pochhammer記号を用いることによって, それぞれ
\begin{align*} \cos(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\left(\frac 12\right)_n}\left(\frac x2\right)^{2n}\\ \sin(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!\left(\frac 12\right)_{n+1}}\left(\frac x2\right)^{2n+1} \end{align*}
と書き換えることができる. この$a$類似としての$a$三角関数を
\begin{align*} \cos^{(a)}(x)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!(a)_n}\left(\frac x2\right)^{2n}\\ \sin^{(a)}(x)&=\frac{\Gamma(a)}{\Gamma(1-a)}\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n}{n!(1-a)_{n+1}}\left(\frac x2\right)^{2n+2-2a} \end{align*}
として定義する. このとき
\begin{align*} \cos^{(a)}(x)&=\Gamma(a)\left(\frac x2\right)^{1-a}J_{a-1}(x)\\ \sin^{(a)}(x)&=\Gamma(a)\left(\frac x2\right)^{1-a}J_{1-a}(x) \end{align*}
という関係がある. よってBessel関数は本質的に$a$三角関数として考えることができる.

Fourier変換

ここでは, $f$のFourier変換を
\begin{align*} F(y):=\frac 1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixy}\,dx \end{align*}

によって定義する. 偶関数$f_0$と奇関数$f_1$の和に$f(x)=f_0(x)+f_1(x)$と分けると,
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ixy}\,dx&=\sqrt{\frac2{\pi}}\int_0^{\infty}f_0(x)\cos(xy)\,dx-i\sqrt{\frac 2{\pi}}\int_0^{\infty}f_1(x)\sin(xy)\,dx \end{align*}
実部と虚部に分けて, $f(x)$に対して,
\begin{align*} \sqrt{\frac 2{\pi}}\int_0^{\infty}f(x)\cos(xy)\,dx \end{align*}
をFourier余弦変換,
\begin{align*} \sqrt{\frac 2{\pi}}\int_0^{\infty}f(x)\sin(xy)\,dx \end{align*}
をFourier正弦変換という.

Hankel変換

Fourier余弦変換の$a$類似を考える. $a=\frac 12$において$\sqrt{\frac 2{\pi}}\cos(x)$に一致するものとして, 先ほど定義した$a$三角関数
\begin{align*} \frac{1}{2^{a-1}\Gamma(a)}\cos^{(a)}(x)=x^{1-a}J_{a-1}(x) \end{align*}
を用いると, Fourier余弦変換の$a$類似として,
\begin{align*} \int_0^{\infty}f(x)(xy)^{1-a}J_{a-1}(xy)\,dx \end{align*}
を考えることができる. これが本質的にHankel変換になっているので, Hankel変換はFourier余弦変換の$a$類似と考えることができる. 同様にFourier正弦変換の$a$類似としてHankel変換を考えることもできる. 最もよく使われるHankel変換の定義は
\begin{align*} f\mapsto \int_0^{\infty}f(x)xJ_a(xy)\,dx \end{align*}
である.

一般Laguerre多項式

一般Laguerre多項式は
\begin{align*} L_n^{(a)}(x):=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+1)_k}x^k \end{align*}
によって定義される. Hardy-Hilleの公式
\begin{align*} \sum_{0\leq n}\frac{n!}{\Gamma(n+a+1)}L_n^{(a)}(x)L_n^{(a)}(y)t^n&=\frac 1{1-t}\exp\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right) \end{align*}
と同値な式
\begin{align*} \frac 1{1-t}\int_0^{\infty}L_n^{(a)}(x)x^ae^{-x}\exp\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx&=L_n^{(a)}(y)t^n \end{align*}
において, $t=-1$とすると,
\begin{align*} \frac 12\int_0^{\infty}L_n^{(a)}(x)x^ae^{-\frac x2}(xy)^{-\frac a2}J_a(\sqrt{xy})\,dx&=(-1)^nL_n^{(a)}(y) \end{align*}
となる. $x\mapsto x^2, y\mapsto y^2$とすると,
\begin{align*} \int_0^{\infty}x^ae^{-\frac{x^2}2}L_n^{(a)}(x^2)xJ_a(xy)\,dx&=(-1)^ny^ae^{-\frac{y^2}2}L_n^{(a)}(y^2) \end{align*}
よってHankel変換によって,
\begin{align*} x^ae^{-\frac{x^2}2}L_n^{(a)}(x^2)\mapsto (-1)^nx^ae^{-\frac{x^2}2}L_n^{(a)}(x^2) \end{align*}
と移る. これは$x^ae^{-\frac{x^2}2}L_n^{(a)}(x^2)$がHankel変換の固有値$(-1)^n$であるような固有関数となっていることを意味している. このことから, Hankel変換は
\begin{align*} F(y)&=\int_0^{\infty}f(x)xJ_a(xy)\,dx \end{align*}
としたとき,
\begin{align*} f(x)&=\int_0^{\infty}F(y)yJ_a(xy)\,dy \end{align*}
となる. つまり, Hankel変換を2回行うと元の関数に戻るという性質があることが分かる.

実数階のHankel変換

Hardy-Hilleの公式と同値な式
\begin{align*} \frac 1{1-t}\int_0^{\infty}L_n^{(a)}(x)x^ae^{-x}\exp\left(\frac{(x+y)t}{t-1}\right)(xyt)^{-\frac a2}I_a\left(\frac{2\sqrt{xyt}}{1-t}\right)\,dx&=L_n^{(a)}(y)t^n \end{align*}
を書き換えると,
\begin{align*} \frac{2t^{-\frac{a}2}}{1-t}\int_0^{\infty}x^ae^{-\frac{x^2}2}L_n^{(a)}(x^2)x\exp\left(\frac 12(x^2+y^2)\frac{t+1}{t-1}\right)I_a\left(\frac{2xy\sqrt{t}}{1-t}\right)\,dx&=y^ae^{-\frac{y^2}2}L_n^{(a)}(y^2)t^n \end{align*}
を得る. よって変換
\begin{align*} f\mapsto \frac{2t^{-\frac a2}}{1-t}\int_0^{\infty}f(x)x\exp\left(\frac 12(x^2+y^2)\frac{t+1}{t-1}\right)I_a\left(\frac{2xy\sqrt{t}}{1-t}\right)\,dx \end{align*}
はHankel変換における固有値$(-1)^n$を$t^n$に置き換えたものになっているので, 実数階のHankel変換と考えることができる.

Hermite多項式の場合

$a=\pm \frac 12$とすることによってHermite多項式の場合を得る.

\begin{align*} \sqrt\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-\frac{x^2}2}H_{2n}(x)\cos(xy)\,dx&=(-1)^ne^{-\frac{y^2}2}H_{2n}(y)\\ \sqrt\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty}e^{-\frac{x^2}2}H_{2n+1}(x)\sin(xy)\,dx&=(-1)^ne^{-\frac{y^2}2}H_{2n+1}(y) \end{align*}
となり, これらはまとめて
\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{x^2}2}H_n(x)e^{-ixy}\,dx&=(-i)^ne^{-\frac{y^2}2}H_n(y) \end{align*}
とFourier変換の形で表すことができる. つまり, Hermite多項式はFourier変換の固有関数である. 固有値であるような$(-i)^n$が$t^n$になるように上手く定義すれば同様に実数階のFourier変換を与えることもできるが, 今回はこのあたりで終わりにしたいと思う.