Bessel関数とHankel変換

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Bessel関数

Bessel関数は
$\begin{array}{r} J_{a} (x) := \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{n! Γ (n + a + 1)} {(\frac{x}{2})}^{2 n + a} \end{array}$
によって定義される. そして三角関数は,
$\begin{aligned} \cos (x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} x^{2 n} \\ \sin (x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n + 1)!} x^{2 n + 1} \end{aligned}$
と級数展開される. Pochhammer記号を用いることによって, それぞれ
$\begin{aligned} \cos (x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{n! {(\frac{1}{2})}_{n}} {(\frac{x}{2})}^{2 n} \\ \sin (x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{n! {(\frac{1}{2})}_{n + 1}} {(\frac{x}{2})}^{2 n + 1} \end{aligned}$
と書き換えることができる. この $a$ 類似としての $a$ 三角関数を
$\begin{aligned} \cos^{(a)} (x) & = \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{n! (a)_{n}} {(\frac{x}{2})}^{2 n} \\ \sin^{(a)} (x) & = \frac{Γ (a)}{Γ (1 - a)} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n}}{n! (1 - a)_{n + 1}} {(\frac{x}{2})}^{2 n + 2 - 2 a} \end{aligned}$
として定義する. このとき
$\begin{aligned} \cos^{(a)} (x) & = Γ (a) {(\frac{x}{2})}^{1 - a} J_{a - 1} (x) \\ \sin^{(a)} (x) & = Γ (a) {(\frac{x}{2})}^{1 - a} J_{1 - a} (x) \end{aligned}$
という関係がある. よってBessel関数は本質的に $a$ 三角関数として考えることができる.

Fourier変換

ここでは, $f$ のFourier変換を
$\begin{array}{r} F (y) := \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i x y} d x \end{array}$

によって定義する. 偶関数 $f_{0}$ と奇関数 $f_{1}$ の和に $f (x) = f_{0} (x) + f_{1} (x)$ と分けると,
$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i x y} d x & = \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f_{0} (x) \cos (x y) d x - i \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f_{1} (x) \sin (x y) d x \end{aligned}$
実部と虚部に分けて, $f (x)$ に対して,
$\begin{array}{r} \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \cos (x y) d x \end{array}$
をFourier余弦変換,
$\begin{array}{r} \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} f (x) \sin (x y) d x \end{array}$
をFourier正弦変換という.

Hankel変換

Fourier余弦変換の $a$ 類似を考える. $a = \frac{1}{2}$ において $\sqrt{\frac{2}{π}} \cos (x)$ に一致するものとして, 先ほど定義した $a$ 三角関数
$\begin{array}{r} \frac{1}{2^{a - 1} Γ (a)} \cos^{(a)} (x) = x^{1 - a} J_{a - 1} (x) \end{array}$
を用いると, Fourier余弦変換の $a$ 類似として,
$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} f (x) (x y)^{1 - a} J_{a - 1} (x y) d x \end{array}$
を考えることができる. これが本質的にHankel変換になっているので, Hankel変換はFourier余弦変換の $a$ 類似と考えることができる. 同様にFourier正弦変換の $a$ 類似としてHankel変換を考えることもできる. 最もよく使われるHankel変換の定義は
$\begin{array}{r} f \mapsto \int_{0}^{\infty} f (x) x J_{a} (x y) d x \end{array}$
である.

一般Laguerre多項式

一般Laguerre多項式は
$\begin{array}{r} L_{n}^{(a)} (x) := \frac{(a + 1)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (a + 1)_{k}} x^{k} \end{array}$
によって定義される. Hardy-Hilleの公式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{n!}{Γ (n + a + 1)} L_{n}^{(a)} (x) L_{n}^{(a)} (y) t^{n} & = \frac{1}{1 - t} \exp (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) \end{aligned}$
と同値な式
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - t} \int_{0}^{\infty} L_{n}^{(a)} (x) x^{a} e^{- x} \exp (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x & = L_{n}^{(a)} (y) t^{n} \end{aligned}$
において, $t = - 1$ とすると,
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} L_{n}^{(a)} (x) x^{a} e^{- \frac{x}{2}} (x y)^{- \frac{a}{2}} J_{a} (\sqrt{x y}) d x & = (- 1)^{n} L_{n}^{(a)} (y) \end{aligned}$
となる. $x \mapsto x^{2}, y \mapsto y^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{a} e^{- \frac{x^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (x^{2}) x J_{a} (x y) d x & = (- 1)^{n} y^{a} e^{- \frac{y^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (y^{2}) \end{aligned}$
よってHankel変換によって,
$\begin{array}{r} x^{a} e^{- \frac{x^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (x^{2}) \mapsto (- 1)^{n} x^{a} e^{- \frac{x^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (x^{2}) \end{array}$
と移る. これは $x^{a} e^{- \frac{x^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (x^{2})$ がHankel変換の固有値 $(- 1)^{n}$ であるような固有関数となっていることを意味している. このことから, Hankel変換は
$\begin{aligned} F (y) & = \int_{0}^{\infty} f (x) x J_{a} (x y) d x \end{aligned}$
としたとき,
$\begin{aligned} f (x) & = \int_{0}^{\infty} F (y) y J_{a} (x y) d y \end{aligned}$
となる. つまり, Hankel変換を2回行うと元の関数に戻るという性質があることが分かる.

実数階のHankel変換

Hardy-Hilleの公式と同値な式
$\begin{aligned} \frac{1}{1 - t} \int_{0}^{\infty} L_{n}^{(a)} (x) x^{a} e^{- x} \exp (\frac{(x + y) t}{t - 1}) (x y t)^{- \frac{a}{2}} I_{a} (\frac{2 \sqrt{x y t}}{1 - t}) d x & = L_{n}^{(a)} (y) t^{n} \end{aligned}$
を書き換えると,
$\begin{aligned} \frac{2 t^{- \frac{a}{2}}}{1 - t} \int_{0}^{\infty} x^{a} e^{- \frac{x^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (x^{2}) x \exp (\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) \frac{t + 1}{t - 1}) I_{a} (\frac{2 x y \sqrt{t}}{1 - t}) d x & = y^{a} e^{- \frac{y^{2}}{2}} L_{n}^{(a)} (y^{2}) t^{n} \end{aligned}$
を得る. よって変換
$\begin{array}{r} f \mapsto \frac{2 t^{- \frac{a}{2}}}{1 - t} \int_{0}^{\infty} f (x) x \exp (\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2}) \frac{t + 1}{t - 1}) I_{a} (\frac{2 x y \sqrt{t}}{1 - t}) d x \end{array}$
はHankel変換における固有値 $(- 1)^{n}$ を $t^{n}$ に置き換えたものになっているので, 実数階のHankel変換と考えることができる.

Hermite多項式の場合

$a = \pm \frac{1}{2}$ とすることによってHermite多項式の場合を得る.

$\begin{aligned} \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2}} H_{2 n} (x) \cos (x y) d x & = (- 1)^{n} e^{- \frac{y^{2}}{2}} H_{2 n} (y) \\ \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2}} H_{2 n + 1} (x) \sin (x y) d x & = (- 1)^{n} e^{- \frac{y^{2}}{2}} H_{2 n + 1} (y) \end{aligned}$
となり, これらはまとめて
$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{x^{2}}{2}} H_{n} (x) e^{- i x y} d x & = (- i)^{n} e^{- \frac{y^{2}}{2}} H_{n} (y) \end{aligned}$
とFourier変換の形で表すことができる. つまり, Hermite多項式はFourier変換の固有関数である. 固有値であるような $(- i)^{n}$ が $t^{n}$ になるように上手く定義すれば同様に実数階のFourier変換を与えることもできるが, 今回はこのあたりで終わりにしたいと思う.