【証明RTA】合成関数の微分【100%,ショトカ縛り】
正しい証明は意外と面倒くさい定理の証明RTA、はぁじまぁるよ～！
今回走るのは次の定理
$I,J\subset\mathbb{R}$を開区間、$f:I\rightarrow \mathbb{R}$、 $g:J\rightarrow\mathbb{R}$、$f(I) \subset J$
$a \in I$、$f $は$a$で微分可能$、g$は$f(a)$で微分可能
$f'(a):=\alpha$、$g'(f(a)):=\beta$
とする。
この時$g\circ f$は$a$で微分可能で$(g\circ f)'(a)=\alpha \beta$である。
カテゴリ名は「100%,ショトカ縛り」
なーぜーかー先駆者がいなかったので、レギュレーションはこっちで勝手に定めます。
ガバガバレギュレーションは以下の通り
- 微分の定義には$\varepsilon -\delta$論法を用いる
- ショートカット(積と極限の交換など)の使用は禁止
- タイマースタートは$「\varepsilon\gt0」$を記述した瞬間
- タイマーストップは不等式評価を$「\lt\varepsilon」$で終えた瞬間
それでは早速、タイマースタート！
$\varepsilon \gt0$とする。
$\varepsilon _0:= \frac{\sqrt{(|\alpha|+|\beta| )^2+4\varepsilon}-(|\alpha|+|\beta|)}{2} (\gt0)$と定める。
$\varepsilon_0^2+(|\alpha|+|\beta|)\varepsilon_0=\varepsilon$である。
微分の定義により$\delta_0\gt0$が存在して、
$0\lt|h|\lt\delta_0 \Rightarrow |\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\alpha|\lt\varepsilon_0$
$0\lt|k|\lt\delta_0 \Rightarrow |\frac{g(f(a)+k)-g(f(a))}{k}-\beta|\lt\varepsilon_0$
となる。
この時、
$0\lt|h|\lt\delta_0 \Rightarrow |\frac{f(a+h)-f(a)}{h}|\lt\varepsilon_0+|\alpha|$
$|k|\lt\delta_0 \Rightarrow |g(f(a)+k)-g(f(a))-\beta k| \leq \varepsilon_0|k|$...(☆)
が成り立つ。
$\delta:=min \lbrace \delta_0,\frac{\delta_0}{\varepsilon_0+|\alpha|} \rbrace (\gt0)$と定める。
$0\lt|h|\lt\delta$とする。
$0\lt|h|\lt\delta_0$より
$|f(a+h)-f(a)|\lt(\varepsilon_0+|\alpha|)|h|\lt(\varepsilon_0+|\alpha|)\delta\leq\delta_0$
であるから、(☆)に$k=f(a+h)-f(a) $を代入して
$|\frac{g(f(a+h))-g(f(a))-\beta \lbrace f(a+h)-f(a) \rbrace}{h}|$
$\leq\varepsilon_0|\frac{f(a+h)-f(a))}{h}|$
$\lt\varepsilon_0(\varepsilon_0+|\alpha|)$
$=\varepsilon_0^2+|\alpha|\varepsilon_0$
となる。
従って、
$|\frac{g\circ f(a+h)-g\circ f(a)}{h}-\alpha\beta|$
$= |\frac{g( f(a+h))-g( f(a))}{h}-\beta\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\beta\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\alpha\beta|$
$\leq|\frac{g(f(a+h))-g(f(a))-\beta \lbrace f(a+h)-f(a) \rbrace}{h}|+|\beta||\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\alpha|$
$\lt\varepsilon_0^2+|\alpha|\varepsilon_0+|\beta|\varepsilon_0$
$=\varepsilon $(ここでタイマーストップ 残りはエンディングです)
以上により$g\circ f$は$a$で微分可能で$(g\circ f)'(a)=\alpha \beta$である。
完走した感想ですが(激ウマギャグ)、多分これが一番早いと思います。文脈が何度も前後する証明が苦手なので、一度通読するだけで理解できる順番にするようにチャートを詰めまくりました。
合成関数の微分の証明は、分母に0が生じるのを如何にして避けるのかがポイントになるのですが、(☆)の行だけであしらえたのがうま味(あじ)でした。
不等式評価を$「\lt\varepsilon」$で終わらせるために、$「\varepsilon_0」$を変な定義にするオリジナルチャートを採用しました。誤差程度ですがタイム短縮につながったと思います。
続編のBanach空間間の写像の連鎖律も全く同様の方法で証明できるので、気になった方は是非ご自身でプレイしてみてください。
以上、小時間のご閲読、ありがとうございました。
