平均ベクトルに関する検定（共分散行列が異なる場合）

3.9.2b 多変量の場合（標本のサイズが異なる場合）

いま,独立する２つの標本${\mathit{y}}_{\mathbf{11}}\mathbf{,}{\mathit{y}}_{\mathbf{12}}\mathbf{,}\mathbf{\dots }\mathbf{,}{\mathit{y}}_{\mathbf{1}{\mathit{n}}_{\mathbf{1}}}$および${\mathit{y}}_{\mathbf{21}}\mathbf{,}{\mathit{y}}_{\mathbf{22}}\mathbf{,}\mathbf{\dots }\mathbf{,}{\mathit{y}}_{\mathbf{2}{\mathit{n}}_{\mathbf{2}}}$を考える.ただし,これらはそれぞれ多変量正規分布$N_p({\mathit{\mu }}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{1}})$および$N_p({\mathit{\mu }}_{\mathbf{2}}\mathbf{,}{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{2}})$に従っているとする（${\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{1}}\ne {\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{2}}$）.

Bennett(1951)の手法

${\mathit{y}}_{\mathbf{2}}\mathit{i}$の$n_2-n_1(>0)$個の値を切り捨てる操作をくり返す手法.しかし,

といった欠点から,あまり推奨されない.

準備

${\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{1}}$,${\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{2}}$：既知のとき,

${\displaystyle Z^2=(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}}{)}^{{}^{\prime }}(\frac{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{1}}}{n_1}+\frac{{\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{2}}}{n_2}{)}^{-1}(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}})}$

は帰無仮説$H_0$のもとで${\chi }_p^2$分布に従う${}^{※}$.

共分散行列を標本共分散行列で書き換えたもの

${\displaystyle T^{\ast 2}=(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}}{)}^{{}^{\prime }}(\frac{{\mathit{S}}_{\mathbf{1}}}{n_1}+\frac{{\mathit{S}}_{\mathbf{2}}}{n_2}{)}^{-1}(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}})}$

は,ホテリングの$T^2$分布（または${\chi }^2$分布）に従わない.

主な$T^{\ast 2}$の（近似）棄却臨界値

初めに,James(1954)がカイ二乗分布による方法を提唱した.
その後のYao(1965)で,Welchによる１変量の場合の解法が一般化され,Johansen(1980),Nel and van der Merwe(1986), Kim(1992)では,さらなる解法が提案された.

以下では,そのうちの主要な２つを紹介する.

James(1954)の解法

・・・$T^2$のおおよその棄却臨界値を$(A+B{\chi }_{\alpha ,p}^2)({\chi }_{\alpha ,p}^2)$としている.
ただし,
${\displaystyle A=1+\frac{1}{2p}\sum _{i=1}^2\frac{1}{n_i-1}[tr({\mathit{S}}_{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}){]}^2}$
${\displaystyle B=\frac{1}{2p(p+2)}\sum _{i=1}^2\frac{1}{n_i-1}\{tr[2({\mathit{S}}_{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}{)}^2]+[tr({\mathit{S}}_{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}){]}^2\}}$

で,${\chi }_{\alpha ,p}^2$は自由度$p$の${\chi }^2$分布における上側確率$\alpha$の点とする.

Yao(1965)の解法

・・・$T^2$のおおよその分布を$T_{p,\nu }^2$としている.
ただし,自由度$\nu$は

${\displaystyle \frac{1}{\nu }=\frac{1}{({\mathit{T}}^{\mathbf{\ast }\mathbf{2}}{)}^2}\sum _{i=1}^2\frac{1}{n_i-1}[(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}}{)}^{{}^{\prime }}{\mathit{S}}_{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathit{V}}_{\mathit{i}}{\mathit{S}}_{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}}){]}^2}$

で定められ,その値は$min(n_1-1,n_2-1)$から$n_1+n_2-2$の間であることがわかっている.

したがって,この検定は${\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{1}}={\mathbf{\Sigma }}_{\mathbf{2}}$の場合には検出力が低くなる.

近似検定の判別関数係数ベクトルは

$\mathit{a}={\mathit{S}}_{\mathit{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}(\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{1}}}\mathbf{-}\overline{{\mathit{y}}_{\mathbf{2}}})$

で,Bonferroni区間は${\mu }_{1j}-{\mu }_{2j}(j=1,2,\dots ,p)$に対し

$\overline{y_{1j}}-\overline{y_{2j}}\pm t_{\alpha /2p,{\nu }_j}\sqrt{\frac{s_{1,jj}^2}{n_1}+\frac{s_{2,jj}^2}{n_2}}$

ただし$s_{1,jj}^2$と$s_{2,jj}^2$はそれぞれ${\mathit{S}}_{\mathbf{1}}$と${\mathit{S}}_{\mathbf{2}}$の第$j$対角成分であり,

$\frac{1}{{\nu }_j}=\frac{c_j^2}{n_1-1}+\frac{(1-c_j{)}^2}{n_2-1}$
$c_j=\frac{s_{1,jj}^2/n_1}{s_{1,jj}^2/n_1+s_{2,jj}^2/n_2}$