級数・積分botの積分を解く[1]

被積分関数に対して
$t=\tan{x}$
と置換する。すると、
$\displaystyle dx=\frac{1}{1+t^2}dt$
となり、積分区間は$[0,\infty]$となる。よって積分は
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\cos^4{x}}dx&=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+\left(\frac{1}{1+t^2}\right)^2}\frac{1}{1+t^2}dt\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{t^2+1}{t^4+2t^2+2}dt\\ \end{align*}
ここで、複素関数$f(z)$と閉じた積分経路$C$を次の様に定める。
$\displaystyle f(z)=\frac{z^2+1}{z^4+2z^2+2}$
積分経路
図1の$C_1,C_2,C_3$をもとに$C$を$\displaystyle C=C_1+C_2+C_3$とする。
ただし、$R$は充分に大きくとる。また、それぞれの経路のパラメータは
\begin{align*} C_1&:z(t)=t\quad(0\le t\le R)\\ C_2&:z(\theta)=Re^{i\theta}\quad(0\le\theta\le\pi)\\ C_3&:z(t)=it\quad(0\le t\le R) \end{align*}
線積分を計算してみましょう。$C_1$に沿ったやつから。
\begin{align*} \int_{C_1}f(z)dz&=\int_{0}^{R}\frac{t^2+1}{t^4+2t^2+2}dt\\ &\overset{R\to\infty}{\longrightarrow}\int_{0}^{\infty}\frac{t^2+1}{t^4+2t^2+2}dt \end{align*}
これは求めたかった積分そのものですね。いったん置いておきましょう。次に$C_2$に沿った線積分。
実はこちらは$0$に収束します。直接$0$になるのを計算して出すのは難しいので、線積分の絶対値が$0$であることを示します。
\begin{align*} \int_{C_2}f(z)dz&\le\int_{C_2}|f(z)||dz|\\ &=\int_{C_2}\left|\frac{z^2+1}{z^4+2z^2+2}\right||dz|\\ &\le\int_{C_2}\frac{|z^2|-1}{|z^4|-2|z^2|-2}|dz| \end{align*}
ここで、この積分における$z$が何かを考えてみます。今回$z$は$C_2$上を動くわけですが、その$ C_2$は半径が$R$の半円周だったので、$|z|$は$R$とわかります。これを用いて積分を変形しましょう。
\begin{align*} \int_{C_2}f(z)dz&\le\int_{C_2}\frac{|z^2|-1}{|z^4|-2|z^2|-2}|dz|\\ &=\int_{C_2}\frac{R^2-1}{R^4-2R^2-2}|dz|\\ &=\frac{R^2-1}{R^4-2R^2-2}\int_{C_2}|dz| \end{align*}
次に考えるのは$|dz|$です。経路のパラメータ表示から、$dz=Rie^{i\theta}d\theta$です。これの絶対値は$|Ri||d\theta|$で、複素数の絶対値は簡単にできました。簡単にすると、$|dz|=R|d\theta|$あとは楽勝ですね。
\begin{align*} \int_{C_2}f(z)dz&\le\frac{R^2-1}{R^4-2R^2-2}\int_{C_2}|dz|\\ &=\frac{R^2-1}{R^4-2R^2-2}\int_{0}^{\pi}R|d\theta|\\ &=\frac{R^3-R}{R^4-2R^2-2}\pi\\ &\overset{R\to\infty}{\longrightarrow}0 \end{align*}
と、線積分の絶対値が$0$以下であることがわかりました。複素数の絶対値は$0$以上なのでこうなるような複素数は$0$しかありえません。よって、
\begin{align*} \int_{C_2}f(z)dz=0 \end{align*}
最後に$C_3$に沿った線積分。
\begin{align*} \int_{C_3}f(z)dz&=\int_{R}^{0}\frac{-t^2+1}{t^4-2t^2+2}idt\\ &=i\int_{0}^{R}\frac{t^2-1}{t^4-2t^2+2}dt\\ &\overset{R\to\infty}{\longrightarrow}i\int_{0}^{\infty}\frac{t^2-1}{t^4-2t^2+2}dt \end{align*}
以上より、
\begin{align*} \oint_{C}f(z)dz&=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz+\int_{C_3}f(z)dz\\ &=\int_{0}^{\infty}\frac{z^2+1}{z^4+2z^2+2}dz+i\int_{0}^{\infty}\frac{z^2-1}{z^4-2z^2+2}dz \end{align*}
一方、ごりごり積分を計算してみましょう。そのためにはまず$f(z)$の極を探します。
\begin{align*} f(z)=\frac{z^2+1}{z^4+2z^2+2} \end{align*}
の分母を変形すると
\begin{align*} z^4+2z^2+2&=(z^2+1)^2+1 \end{align*}
これが$ 0$になるという方程式を解くと、
$z=\pm i\sqrt{1+i},\pm\sqrt{-1+i}$
がわかります。複素数の平方根を外すと、
\begin{align*} z&=\pm\left(-\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}i\right),\\ &\quad\pm\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}i\right) \end{align*}
今回は実部、虚部がともに$ 0$より大きければ単純閉曲線$C$内に含まれます。というか、少し見にくいので
\begin{align*} \sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}&=\alpha\\ \sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}&=\beta \end{align*}
と置いてしまいましょう。$\alpha,\beta$どちらも実数です。このとき$\alpha+\beta i$が今回の$C$内に含まれる$f(z)$の極です。これをもとに積分を計算しましょう。留数定理より、
\begin{align*} \oint_{C}f(z)dz&=2\pi i\Res(f,\alpha+\beta i)\\ \end{align*}
実は$\alpha+\beta i$は$f(z)$の一位の極のため少し楽して計算することができます。楽できるものならしたほうがいいですからね^^
\begin{align*} \oint_{C}f(z)dz&=2\pi i\lim_{z\to\alpha+\beta i}\frac{z^2+1}{(z^4+2z^2+2)'}\\ &=2\pi i\lim_{z\to\alpha+\beta i}\frac{z^2+1}{4z(z^2+1)}\\ &=\frac{\pi i}{2}\frac{1}{\alpha+\beta i}\\ &=\frac{\pi i}{2}\frac{\alpha-\beta i }{\alpha^2+\beta^2} \end{align*}
また、
\begin{align*} \alpha^2+\beta^2&=\frac{-1+\sqrt{2}}{2}+\frac{1+\sqrt{2}}{2}\\ &=\sqrt{2} \end{align*}
のため
\begin{align*} \oint_{C}f(z)dz&=\frac{\pi i}{2\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}-\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}}{2}}i\right)\\ &=\frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{4}\pi+\frac{\sqrt{-1+\sqrt{2}}}{4}\pi i \end{align*}
また、
\begin{align*} \oint_{C}f(z)&=\int_{0}^{\infty}\frac{t^2+1}{t^4+2t^2+2}dt+i\int_{0}^{\infty}\frac{t^2-1}{t^4-2t^2+2}dt \end{align*}
だったため、実部と虚部を比較することで、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\frac{t^2+1}{t^4+2t^2+2}dt=\frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{4}\pi \end{align*}
これは$I$だったため、
\begin{align*} \huge I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\cos^4{x}}dx=\frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{4}\pi \end{align*}
が示された。