Swap invariantなq多重ゼータ値

インデックス$(k_1,\dots,k_r)$に対し,
\begin{align} g(k_1,\dots,k_r):=\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_r\\0< n_1<\cdots< n_r}}\frac{n_1^{k_1-1}\cdots n_r^{k_r-1}}{(k_1-1)!\cdots (k_r-1)!}q^{m_1n_1+\cdots+m_rn_r} \end{align}
とする. 前の記事 において多重Eisenstein級数が$\zeta$と$g$で表されることを示した. 今回は$g(k_1,\dots,k_r)$の一般化として$d_1,\dots,d_r\geq 0$として
\begin{align} g\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r\\d_1,\dots,d_r\end{matrix}\right):=\sum_{\substack{0< m_1<\dots< m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}\frac{n_1^{k_1-1}m_1^{d_1}\cdots n_r^{k_r-1}m_r^{d_r}}{(k_1-1)!\cdots (k_r-1)!}q^{m_1n_1+\cdots+m_rn_r} \end{align}
について考える.

微分

まず, この$g$は以下のように微分に閉じているという性質がある.

母関数

$g$の母関数を
\begin{align} \mathfrak{g}\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right):=\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_r\\0\leq d_1,\dots,d_r}}g\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r\\d_1,\dots,d_r\end{matrix}\right)X_1^{k_1-1}\cdots X_r^{k_r-1}\frac{Y_1^{d_1}\cdots Y_r^{d_r}}{d_1!\cdots d_r!} \end{align}
とする. このとき定義から
\begin{align} &\mathfrak{g}\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_r\\0\leq d_1,\dots,d_r}}X_1^{k_1-1}\cdots X_r^{k_r-1}\frac{Y_1^{d_1}\cdots Y_r^{d_r}}{d_1!\cdots d_r!}\sum_{\substack{0< m_1<\dots< m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}\frac{n_1^{k_1-1}m_1^{d_1}\cdots n_r^{k_r-1}m_r^{d_r}}{(k_1-1)!\cdots (k_r-1)!}q^{m_1n_1+\cdots+m_rn_r}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1<\dots< m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}e^{n_1X_1+\cdots +n_rX_r+m_1Y_1+\cdots+m_rY_r}q^{m_1n_1+\cdots+m_rn_r}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}e^{n_1X_1+\cdots +n_rX_r+m_1Y_1+(m_1+m_2)Y_2+\cdots+(m_1+\cdots+m_r)Y_r}q^{m_1n_1+(m_1+m_2)n_2+\cdots+(m_1+\cdots+m_r)n_r}\qquad m_i\mapsto m_1+\cdots+m_i\\ &=\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}e^{n_1X_1+\cdots +n_rX_r+m_1(Y_1+\cdots+Y_r)+m_2(Y_2+\cdots+Y_r)+\cdots+m_rY_r}q^{\sum_{1\leq i\leq j\leq r}m_in_j} \end{align}
となる. よって,
\begin{align} &\mathfrak{g}\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_r-Y_{r-1},\dots,Y_2-Y_1,Y_1\end{matrix}\right) \\ &=\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}e^{n_1X_1+\cdots +n_rX_r+m_1Y_r+\cdots+m_rY_1}q^{\sum_{1\leq i\leq j\leq r}m_in_j}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1,\dots,m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}e^{n_1Y_1+\cdots +n_rY_r+m_1X_1+\cdots+m_rX_r}q^{\sum_{1\leq i\leq j\leq r}m_in_j}\qquad (m_i,n_i)\mapsto (n_{r+1-i},m_{r+1-i})\\ &=\mathfrak{g}\left(\begin{matrix}Y_1,\dots,Y_r\\X_r-X_{r-1},\dots,X_2-X_1,X_1\end{matrix}\right) \end{align}
となる. $Y_i\mapsto Y_{r+1-i}+\cdots+Y_r$として以下を得る.

この$\mathfrak{g}$のように
\begin{align} f\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right)=f\left(\begin{matrix}Y_r,Y_{r-1}+Y_r,\dots,Y_1+\cdots+Y_r\\X_r-X_{r-1},\dots,X_2-X_1,X_1\end{matrix}\right) \end{align}
をみたすような$f$はswap invariantであるという.

積構造

先ほどの表示
\begin{align} \mathfrak{g}\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right) &=\sum_{\substack{0< m_1<\dots< m_r\\0< n_1,\dots,n_r}}e^{n_1X_1+\cdots +n_rX_r+m_1Y_1+\cdots+m_rY_r}q^{m_1n_1+\cdots+m_rn_r}\\ \end{align}
において$n_1,\dots,n_r$に関して足し合わせると
\begin{align} \mathfrak{g}\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right) &=\sum_{\substack{0< m_1<\dots< m_r}}\frac{e^{X_1+m_1Y_1}q^{m_1}}{1-e^{X_1}q^{m_1}}\cdots \frac{e^{X_r+m_rY_r}q^{m_r}}{1-e^{X_r}q^{m_r}} \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} L_m\left(X \atop Y\right):=\frac{e^{X+mY}q^{m}}{1-e^{X}q^{m}} \end{align}
とすると
\begin{align} L_m\left(X_1 \atop Y_1\right)L_m\left(X_2 \atop Y_2\right)&=\frac{e^{X_1+mY_1}q^{m}}{1-e^{X_1}q^{m}}\frac{e^{X_2+mY_2}q^{m}}{1-e^{X_2}q^{m}}\\ &=\frac 1{e^{X_1}-e^{X_2}}\left(\frac 1{1-e^{X_1}q^m}-\frac 1{1-e^{X_2}q^m}\right)e^{X_1+X_2+m(Y_1+Y_2)}q^{m}\\ &=\frac 1{e^{X_1-X_2}-1}L_m\left(X_1 \atop Y_1+Y_2\right)+\frac 1{e^{X_2-X_1}-1}L_m\left(X_2 \atop Y_1+Y_2\right) \end{align}
となる. よって, 以下が得られる.

古典極限

以下は多重ゼータ値からswap invariantを構成する概略である. $k-d\geq 2$のとき, 通常のように古典極限を考えることによって,
\begin{align} \lim_{q\to 1}(1-q)^kg\left(k\atop d\right)=\zeta(k-d) \end{align}
となる. また, 定理2より
\begin{align} g\left(k\atop d\right)=\frac{d!}{(k-1)!}g\left({d+1}\atop {k-1}\right) \end{align}
であるから, $k-d\leq 0$のとき,
\begin{align} \lim_{q\to 1}(1-q)^{d+1}g\left(k \atop d\right)=\frac{d!}{(k-1)!}\zeta(d-k+2) \end{align}
となる. よって$k\geq 2,d\geq 1$の場合
\begin{align} \lim_{q\to 1}(1-q)^{k+d}g\left(k\atop d\right)=0 \end{align}
である. Bachmann-van Ittersumの論文において
\begin{align} \left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r,1,\dots,1\\0,\dots,0,d_1,\dots,d_m\end{matrix}\right) \end{align}
という形のものを除き, $g$の古典極限は$0$になることが示されており, 特に$k_r\geq 2,d_1\geq 1$ならば
\begin{align} \lim_{q\to 1}(1-q)^{k_1+\cdots+k_r+d_1+\cdots+d_m}g\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r,1,\dots,1\\0,\dots,0,d_1,\dots,d_m\end{matrix}\right)=\zeta(k_1,\dots,k_r)\xi(d_1,\dots,d_m) \end{align}
と表されるようである. ここで, $\zeta$は通常の多重ゼータ値であり, $\xi$は
\begin{align} \lim_{q\to 1}(1-q)^{d_1+\cdots+d_m}g\left(\begin{matrix}1,\dots,1\\d_1,\dots,d_m\end{matrix}\right)=\xi(d_1,\dots,d_m) \end{align}
によって与えられる共役多重ゼータ値である. 多重ゼータ値の調和正規化, シャッフル正規化を$\zeta^*,\zeta^{\sh}$として
\begin{align} Z^*\left(X_1,\dots,X_r\right)&:=\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_r}}\zeta^*\left(k_1,\dots,k_r\right)X_1^{k_1-1}\cdots X_r^{k_r-1}\\ Z^{\sh}\left(X_1,\dots,X_r\right)&:=\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_r}}\zeta^{\sh}\left(k_1,\dots,k_r\right)X_1^{k_1-1}\cdots X_r^{k_r-1} \end{align}
とする.
\begin{align} \sum_{0\leq d_1,\dots,d_r}\xi^{\sh}(d_1,\dots,d_r)\frac{Y_1^{d_1}\cdots Y_r^{d_r}}{d_1!\cdots d_r!}:=Z^{\sh}(Y_r,Y_{r-1}+Y_r,\dots,Y_1+\cdots+Y_r) \end{align}
と定義すると, $d_1\geq 1$に対しては$\xi^{\sh}(d_1,\dots,d_r)=\xi(d_1,\dots,d_r)$となる. $k_r\geq 2,d_1\geq 1$であるようなものに対し,
\begin{align} \zeta\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r, \{1\}^n,1,\dots,1\\0,\dots,0,\{0\}^n,d_1,\dots,d_m\end{matrix}\right):=\sum_{j=0}^n\zeta^*(k_1,\dots,k_r,\{1\}^j)\xi^{\sh}(\{0\}^{n-j},d_1,\dots,d_m) \end{align}
と定義することができる(上の形のインデックス以外においては$0$と定義する). このとき,
\begin{align} Z\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right)&:=\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_r\\0\leq d_1,\dots,d_r}}\zeta\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r\\d_1,\dots,d_r\end{matrix}\right)X_1^{k_1-1}\cdots X_r^{k_r-1}\frac{Y_1^{d_1}\cdots Y_r^{d_r}}{d_1!\cdots d_r!} \end{align}
とすると
\begin{align} &Z\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right)\\ &=\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_r\\0\leq d_1,\dots,d_r}}\zeta\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r\\d_1,\dots,d_r\end{matrix}\right)X_1^{k_1-1}\cdots X_r^{k_r-1}\frac{Y_1^{d_1}\cdots Y_r^{d_r}}{d_1!\cdots d_r!}\\ &=\sum_{i=0}^r\sum_{0\leq n}\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_{i-1},2\leq k_i\\1\leq d_{n+i+1},0\leq d_{n+i+2}, \dots,d_r}}\zeta\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_i,\{1\}^n,1,\dots,1\\0,\dots,0,\{0\}^n,d_{n+i+1},\dots,d_r\end{matrix}\right)X_1^{k_1-1}\cdots X_i^{k_i-1}\frac{Y_{n+i+1}^{d_{n+i+1}}\cdots Y_r^{d_r}}{d_{n+i+1}!\cdots d_r!}\\ &=\sum_{i=0}^r\sum_{0\leq m,n}\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_{i-1},2\leq k_i\\1\leq d_{m+n+i+1},0\leq d_{m+n+i+2}, \dots,d_r}}\zeta^*(k_1,\dots,k_i,\{1\}^m)\xi^{\sh}(\{0\}^n,d_{m+n+i+1},\dots,d_r)X_1^{k_1-1}\cdots X_i^{k_i-1}\frac{Y_{m+n+i+1}^{d_{m+n+i+1}}\cdots Y_r^{d_r}}{d_{m+n+i+1}!\cdots d_r!}\\ &=\sum_{i=0}^r\sum_{0\leq m,n}\sum_{\substack{1\leq k_1,\dots,k_{i-1},2\leq k_i\\1\leq d_{n+i+1},0\leq d_{n+i+2}, \dots,d_r}}\zeta^*(k_1,\dots,k_{i-m},\{1\}^m)\xi^{\sh}(\{0\}^n,d_{n+i+1},\dots,d_r)X_1^{k_1-1}\cdots X_i^{k_i-1}\frac{Y_{n+i+1}^{d_{n+i+1}}\cdots Y_r^{d_r}}{d_{n+i+1}!\cdots d_r!}\qquad i\mapsto i-m\\ &=\sum_{i=0}^rZ^*(X_1,\dots,X_i)Z^{\sh}(Y_r,Y_{r-1}+Y_r,\dots,Y_{i+1}+\cdots+Y_r) \end{align}
となる. 正規化定理から
\begin{align} \sum_{0\leq n}\gamma_nt^n:=\exp\left(\sum_{2\leq n}\frac{(-1)^n\zeta(n)}{n}t^n\right) \end{align}
として,
\begin{align} Z^{\sh}(X_1,\dots,X_r)=\sum_{i=0}^r\gamma_iZ^*(X_1,\dots,X_{r-i}) \end{align}
が成り立つので
\begin{align} Z\left(\begin{matrix}X_1,\dots,X_r\\Y_1,\dots,Y_r\end{matrix}\right) &=\sum_{i=0}^r\sum_{j=0}^{r-i}\gamma_jZ^*(X_1,\dots,X_i)Z^*(Y_r,Y_{r-1}+Y_r,\dots,Y_{i+j+1}+\cdots+Y_r)\\ &=\sum_{0\leq i\leq j\leq r}\gamma_{j-i}Z^*(X_1,\dots,X_i)Z^*(Y_r,Y_{r-1}+Y_r,\dots,Y_{j+1}+\cdots+Y_r)\\ \end{align}
と表される. $Z$がswap invariantになっていることはこの表示からも分かる. 構成から, $\left(k_1\atop d_1\right)\circ\left(k_2\atop d_2\right):=\left(k_1+k_2\atop d_1+d_2\right)$に関する準シャッフル積を$*$として,
\begin{align} \zeta\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r\\d_1,\dots,d_r\end{matrix}\right)\zeta\left(\begin{matrix}l_1,\dots,l_s\\e_1,\dots,e_s\end{matrix}\right)=\zeta\left(\left(\begin{matrix}k_1,\dots,k_r\\d_1,\dots,d_r\end{matrix}\right)*\left(\begin{matrix}l_1,\dots,l_s\\e_1,\dots,e_s\end{matrix}\right)\right) \end{align}
を満たすことも分かる. このことを$Z$はsymmetrilであるという.