分解型複素数ってなに？

導入

分解型複素数って知っていますか？
何だか複素数の特殊な形っぽいですね。
ですが複素数とは違ってあまり知られていない……と思います。
今回はそれの紹介がてら、後々発展を投稿したいのでそれ用です。

分解型複素数って何？

はい、複素数と似ていますね。
$-1$でなく$1$であるところくらいでしょうか。

この分解型複素数、一応計算規則も記しておきます。

計算規則

$$(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j$$

$$(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j$$

$$(a+bj)(c+dj)=(ac+bd)+(ad+bc)j$$

$$\frac{a+bj}{c+dj}=\frac{ac-bd}{c^2-d^2}+\frac{bc-ad}{c^2-d^2}j$$

$$|a+bj|=\sqrt{a^2-b^2}$$

分解型複素数$a+bj$の共役は$a-bj$

少々の発展

また、以上の計算規則などを踏まえて、以下のものもあります。

分解型複素数の絶対値やオイラーの公式の類似などから、双曲線と関わりがあることがすぐに分かります。
実際、複素数にとっての三角関数は、分解型複素数にとっての双曲線関数です。

それらを踏まえて

それらを踏まえて、分解型複素数特有の話をいたしましょう。

$$\frac{1+j}{2}$$
は、二乗すると自身になります。
また、
$$\frac{1-j}{2}$$
も、二乗すると自身になります。

このような『$0$と$1$以外の、べき乗によって変化しない数』を『非自明な冪等元』と呼びます。
この非自明な冪等元2つの積を計算してみます。

$$\frac{1+j}{2}\frac{1-j}{2}=\frac{1^2-j^2}{4}=0$$

はい、零因子になります。

非自明な冪等元でありながら零因子でもあるんですね。
この2つの数、実は基底に出来ます。
(つまり、任意の分解型複素数はこの2つの数それぞれの実数倍の和で表せます)

仮にそれぞれ$i^{\prime },j^{\prime }$としてみましょう。
実数$a,b$を用いて、$a{i}^{\prime }+b{j}^{\prime }$と表しました。
この形、とあることがあるんです。

積を計算してみましょう。
$$(a{i}^{\prime }+b{j}^{\prime })(c{i}^{\prime }+d{j}^{\prime })=ac{i}^{\prime 2}+ad{i}^{\prime }{j}^{\prime }+bc{i}^{\prime }{j}^{\prime }+bd{j}^{\prime 2}$$

$i^{\prime }$と$j^{\prime }$は非自明な冪等元、および零因子であるので、

$$ac{i}^{\prime }+0+0+bd{j}^{\prime }=ac{i}^{\prime }+bd{j}^{\prime }$$

はい、このような形になりました。
こちら、実は元の式と比較すると、係数同士の個々の積になっています。
このようなものを『直和分解』と言います。

まとめ

今回は分解型複素数に関して色々話しました。
今回のも踏まえて、いずれ他の多元数に関してお話しようかな、と。
それと、今回の記事に何かしらの誤りがあるかもしれませんが、ご了承ください。