順序集合全体の圏の直積の普遍性の確認

[$\id$は順序を保つ]
$P$を半順序集合とする。
$x \le y$なる$x, y \in P$を取る。
この時、$\id_P(x) = x \le y = \id_P(y)$であるから、$\id_P$は順序を保つ。

[順序を保つ写像同士の合成は順序を保つ]
半順序集合と順序を保つ写像を取る。
$$P \xrightarrow{f} Q \xrightarrow{g} R$$

$x \le y$なる$x,y \in P$を取る。
この時、$f$は順序を保つから、$f(x) \le f(y)$
また、$g$は順序を保つから、$g(f(x)) \le g(f(y))$
従って、$(g \circ f)(x) \le (g \circ f)(y)$であるから、$g \circ f$は順序を保つ。

[射影]
$j \in I$を取る。
$(x_i)_{i \in I} \le (y_i)_{i \in I}$なる$x = (x_i)_{i \in I}, y = (y_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}P_i$を取る。

直積順序の定義から、$\pi_j(x) = x_j \le y_j = \pi_j(y)$であるから、$\pi_j$は順序を保つ。

[入射]
$j \in I$を取る。
$x \le y$なる$x,y \in P_j$をとる。

余直積順序の定義から、$\iota_j(x) = (x,j) \le (y,j) = \iota_j(y)$であるから、$\iota_j$は順序を保つ。

[直積]

$$ \xymatrix{ & & X \ar@/_1pc/@{->}[lldd]_{\alpha_P} \ar@/^1pc/@{->}[rrdd]^{\alpha_Q} \ar@{-->}[dd]|-{\alpha} & & \\ & & & & \\ P & & P \times Q \ar@{->}[ll]_{\pi_P} \ar@{->}[rr]^{\pi_Q} & & Q } $$

半順序集合の族$(P_i)_{i \in I}$と射影$\pi_j:\prod_{i \in I}P_i → P_j$を取る。
任意の半順序集合$X$と順序を保つ写像$\alpha_j:X→P_j$を取る。

[存在性]
$\alpha:X → \prod_{i \in I}P_i;\ x ↦ (\alpha_i(x))_{i \in I}$と置く。
$\alpha$は順序を保つ。

この時、全ての$j \in I$に対し、$\alpha_j = \pi_j \circ \alpha$である。

[一意性]
全ての$j \in I$に対し、$\alpha_j = \pi_j \circ \alpha'$となる$\alpha'$を取る。

$x \in P$を取る。
任意の$j \in I$に対し$(\pi_j \circ \alpha')(x) = \alpha_j(x)$だから、$\alpha'(x) = (\alpha_j(x))_{i \in I} = \alpha(x)$

よって、$\alpha' = \alpha$

[余直積]

$$ \xymatrix{ & & X & & \\ & & & & \\ P \ar@{->}[rr]^{\iota_P} \ar@/^1pc/@{->}[rruu]^{\alpha_P} & & P\ \sqcup\ Q \ar@{-->}[uu]|-{\alpha} & & Q \ar@{->}[ll]_{\iota_Q} \ar@/_1pc/@{->}[lluu]_{\alpha_Q} }$$

半順序集合の族$(P_i)_{i \in I}$と入射$\iota_j:P_j → \coprod_{i \in I}P_i;\ x ↦ (x, j)$を取る。

任意の半順序集合$X$と順序を保つ写像$\alpha_j:P_j → X$を取る。

[存在性]
$\alpha:\coprod_{i \in I}P_i → X;\ (x, j) ↦ \alpha_j(x)$と置く。
$\alpha $は順序を保つ。

この時、全ての$j \in I$に対し、$\alpha_j = \alpha \circ \iota_j$である。

[一意性]
全ての$j \in I$に対し、$\alpha_j = \alpha' \circ \iota_j$となる$\alpha ^{\prime }$を取る。

$x \in \coprod_{i \in I}P_i$を取る。

非交和の定義より、ある$j \in I$と$y \in P_j$が存在して$x = (y, j) = \iota_j(y)$と書ける。

$(\alpha' \circ \iota_j)(y) = \alpha_j(y)$だから、$\alpha'(x) = \alpha'(\iota_j(y)) = \alpha_j(y) = \alpha(\iota_j(y)) = \alpha(x)$

よって、$\alpha' = \alpha$

任意の半順序集合$P$に対し、$\varnothing → P$なる写像は空写像のみであり、空写像は(空虚に)順序を保つ。

また、$P → \set{0}$なる写像は全てを$0$に送る写像のみであり、それは順序を保つ。

[$\id$は順序を反映する]
$P$を半順序集合とする。
$\id_P(x) \le \id_P(y)$なる$x, y \in P$を取る。
この時、$\id_P(x) = x \le y = \id_P(y)$であるから、$\id_P$は順序を反映する。

[順序を反映する写像同士の合成は順序を反映する]
半順序集合と順序を反映する写像を取る。
$$P \xrightarrow{f} Q \xrightarrow{g} R$$

$(g \circ f)(x) \le (g \circ f)(y)$なる$x,y \in P$を取る。
この時、$g$は順序を反映するから、$f(x) \le f(y)$
また、$f$は順序を反映するから、$x \le y$
従って、$g \circ f$は順序を反映する。

$P = \N^2$と置く。

$0 = \pi_0(0,1) \le \pi_0(0,0) = 0$であるが$1 \not\le 0$だから$(0,1) \not\le (0,0)$

$P = \coprod_{i \in I}P_i$と置く。

$\iota_j(x) \le \iota_j(y)$とすると、$x,y \in P_j$でかつ$x \le_j y$である。

[反例]
$I = \{1, 2\}$ とする。
半順序集合$P_1, P_2$をそれぞれ一点集合$P_1 = \{a\}, P_2 = \{b\}$とする。
このとき、非交和$P_1 \sqcup P_2$の台集合は$\{(a, 1), (b, 2)\}$であり、$(a, 1) \not\le (b, 2)$かつ$(b, 2) \not\le (a, 1)$である。

$X = \{0, 1\}$と置く。
写像$\alpha_1: P_1 \to X$を$\alpha_1(a) = 0$と定める。
写像$\alpha_2: P_2 \to X$を$\alpha_2(b) = 1$と定める。

$\alpha_1, \alpha_2$は順序を反映する写像である。

この時、図式を可換にする写像$\alpha:P_1 \sqcup P_2 → X$は一つしかなく、以下のように定まる。

$\alpha(a, 1) = (\alpha \circ \iota_1)(a) = \alpha_1(a) = 0$
$\alpha(b, 2) = (\alpha \circ \iota_2)(b) = \alpha_2(b) = 1$

この $\alpha$ が$\mathrm{Ord}_{ref}$の射（順序を反映する写像）であるかを確認する。

$X$において、$\alpha(a, 1) = 0 \le 1 = \alpha(b, 2)$が成り立つ。
もし$\alpha$が順序を反映するのであれば、$(a, 1) \le (b, 2)$が成り立たなければならない。

しかし、先述の通り$(a, 1) \not\le (b, 2)$である。

従って、条件を満たす射$\alpha$は存在しないため、非交和順序と入射は$\mathrm{Ord}_{ref}$における余直積の普遍性を満たさない。

[$\id$は上半束準同型]
$P$を上半束とする。
$x, y \in P$を取る。
この時、$\id_P(x \vee y) = x \vee y = \id_P(x) \vee \id_P(y)$であるから、$\id_P$は上半束準同型である。

[上半束準同型同士の合成は上半束準同型]
上半束と上半束準同型を取る。
$$P \xrightarrow{f} Q \xrightarrow{g} R$$

$x,y \in P$を取る。
この時、$(g \circ f)(x \vee y) = g(f(x \vee y)) = g(f(x) \vee f(y)) = g(f(x)) \vee g(f(y)) = (g\circ f)(x) \vee (g \circ f)(y)$
従って、$g \circ f$は上半束準同型である。

$x = (x_i)_{i \in I}$
$y = (y_i)_{i \in I}$
$z = (x_i \vee y_i)_{i \in I}$
と置く。

任意の$i \in I$に対し、$x_i \le x_i \vee y_i$かつ$y_i \le x_i \vee y_i$だから、
$x \le z$かつ$y \le z$

即ち、$z$は$x,y$の上界である。

$x,y$の上界$s = (s_i)_{i \in I}$を取る。

$x \le s$かつ$y \le s$だから、任意の$i \in I$に対し、$x_i \le s_i$かつ$y_i \le s_i$
即ち、各$i \in I$について$s_i$は$x_i,y_i$の上界である。

各$i \in I$について$x_i \vee y_i$は$x_i,y_i$の最小上界だから、$x_i \vee y_i \le s_i$

従って、$z \le s$

よって、$z$は$x,y$の最小上界であった。

$(P_i)_{i \in I}$を上半束の族とする。

$P = \prod_{i \in I}P_i$と置く。

$j \in I$を取る。
$(x_i)_{i \in I}, (y_i)_{i \in I} \in P$を取る。

$j \in I$を取る。

$\pi_j((x_i)_{i \in I} \vee (y_i)_{i \in I}) = \pi_j((x_i \vee y_i)_{i \in I}) = x_j \vee y_j = \pi((x_i)_{i \in I}) \vee \pi((y_i)_{i \in I})$

よって、$\pi_j$は上半束準同型である。

[直積]

$$ \xymatrix{ & & X \ar@/_1pc/@{->}[lldd]_{\alpha_P} \ar@/^1pc/@{->}[rrdd]^{\alpha_Q} \ar@{-->}[dd]|-{\alpha} & & \\ & & & & \\ P & & P \times Q \ar@{->}[ll]_{\pi_P} \ar@{->}[rr]^{\pi_Q} & & Q } $$

上半束の族$(P_i)_{i \in I}$と射影$\pi_j:\prod_{i \in I}P_i → P_j$を取る。
任意の上半束$X$と上半束準同型$\alpha_j:X→P_j$を取る。

[存在性]
$\alpha:X → \prod_{i \in I}P_i;\ x ↦ (\alpha_i(x))_{i \in I}$と置く。
$\alpha$は上半束準同型である。

この時、全ての$j \in I$に対し、$\alpha_j = \pi_j \circ \alpha$である。

[一意性]
全ての$j \in I$に対し、$\alpha_j = \pi_j \circ \alpha'$となる$\alpha'$を取る。

$x \in P$を取る。
任意の$j \in I$に対し$(\pi_j \circ \alpha')(x) = \alpha_j(x)$だから、$\alpha'(x) = (\alpha_j(x))_{i \in I} = \alpha(x)$

よって、$\alpha' = \alpha$