集合 ➁

全体集合$U$を固定したもとで、以後の集合は全体集合$U$の部分集合として扱う。すなわち、
$$ A\subseteq U $$
を仮定して議論する。以後、$\forall x,\exists x$ は $x\in U$ 上で量化するものとする。

$A\subseteq B$かつ$A\ne B$が成り立つとき、$A$は$B$の真部分集合であるといい
$$ A\subsetneq B $$
と書く。本ノートでは、$A\subset B$は$A\subseteq B$を表すものとする。真部分集合は$A\subsetneq B$で表す。

条件 $P(x),Q(x)$ を用いて
$$ A=\{x\in U\mid P(x)\},\quad B=\{x\in U\mid Q(x)\} $$
と表されているとき、部分集合の定義より次が成り立つ。
$$ A\subset B\ \Leftrightarrow\ \forall x\in U,\ (P(x)\Rightarrow Q(x)) $$

集合に関する記号では、「要素である」と「部分集合である」は“型”が異なる主張であり、混同してはならない。

1. 要素（element）の主張
   $$ x\in A $$
   は「対象$x$が集合$A$の要素である」という主張である。
   ここで$x$は一般に集合とは限らず、数・点・文字列など任意の対象でよい。
   $ $
2. 部分集合（subset）の主張
   $$ X\subseteq A $$
   は「集合$X$のすべての要素が集合$A$の要素でもある」という主張である。
   したがって、$\subseteq$の左辺は必ず集合でなければならない。

$A$を集合とし、$x$を対象とする。
$$ x\in A $$
と
$$ \{x\}\subseteq A $$
は、どちらも「$x$が$A$の中に入っている」ことを表しているように見えるが、主張の型が異なる。

1. $x\in A$ は「要素$x$が$A$に属する」という要素の主張である。
2. $\{x\}\subseteq A$ は「集合$\{x\}$が$A$の部分集合である」という部分集合の主張である。

$A,B$を集合とする。
$$ A\in B $$
は「集合$A$が集合$B$の要素として含まれている」という主張である。
一方、
$$ A\subseteq B $$
は「集合$A$の任意の要素は集合$B$の要素でもある」という主張である。
したがって、$A\in B$と$A\subseteq B$は一般に全く別の意味であり、どちらか一方から他方は導けない。

1. $1\in\{1,2,3\}$ は真であるが、$1\subseteq\{1,2,3\}$ は型が合わない（$1$は集合ではない）。
   $ $
2. $\{1\}\subseteq\{1,2,3\}$ は真である。これは「$\{1\}$の要素$1$が$\{1,2,3\}$に含まれる」という意味である。
   $ $
3. $A:=\{1\},\ B:=\{\{1\},2\}$とすると
   $$ A\in B $$
   は真である（$B$は要素として$\{1\}$を含む）。しかし
   $$ A\subseteq B $$
   は偽である（$A$の要素$1$は$B$の要素ではない。$B$の要素は$\{1\}$と$2$である）。
   $ $
4. 逆に、$A:=\{1\},\ B:=\{1,2\}$とすると
   $$ A\subseteq B $$
   は真であるが、
   $$ A\in B $$
   は偽である（$B$の要素は$1$と$2$であり、$\{1\}$は含まれない）。

記号を見るとき、次を必ず確認する。

1. 「$\in$」の左は“要素”、右は“集合”である。
2. 「$\subseteq$」の左も右も“集合”である。
3. 「$A\in B$」は「$A$が$B$の要素」という主張であり、「$A$の要素が$B$に入る」こととは無関係である。

条件 $P(x),Q(x)$ を用いて
$$ A=\{x\in U\mid P(x)\},\quad B=\{x\in U\mid Q(x)\} $$
と表されているとき、上の定義より
$$ A=B\ \Leftrightarrow\ \forall x\in U,\ \bigl(P(x)\Leftrightarrow Q(x)\bigr) $$
が成り立つ。

集合$A,B$について$A=B$を示したいとき、定義
$$ A=B\ \Leftrightarrow\ \forall x\in U\ (x\in A\ \Leftrightarrow\ x\in B) $$
に従い、任意の$x$を$1$つ取って
$$ x\in A\ \Rightarrow\ x\in B,\qquad x\in B\ \Rightarrow\ x\in A $$
の$2$つを示すのが基本である。部分集合の言葉で表現するならば、
$$ A\subseteq B,\qquad B\subseteq A $$
をそれぞれ示し、両方が成り立つことから$A=B$を結論する。
$ $
より具体的には、次の手順で証明することが多い。

1. 任意の$x\in U$を取る。
2. $x\in A$を仮定し、定義や既知の同値変形を用いて$x\in B$を導く。これにより$A\subseteq B$が従う。
   $ $
3. 任意の$x\in U$を取る。
4. $x\in B$を仮定し、同様にして$x\in A$を導く。これにより$B\subseteq A$が従う。
   $ $
5. 以上より$A\subseteq B$かつ$B\subseteq A$であるから$A=B$が成り立つ。

集合の「同一性（等しさ）」は、その集合がどのように作られたか（定義の仕方）ではなく、
どの要素を持つかだけによって決まる。これは$ZF$公理系を構成する公理の一つで、
「全く同じ要素からなる$2$つの集合は等しい」ことを主張する。

空集合$\varnothing$について、
$$ \varnothing\subseteq A $$
は常に成り立つが、
$$ \varnothing\in A $$
は一般に成り立つとは限らない。
つまり「空集合が$A$の部分集合であること」と「空集合が$A$の要素であること」は全く別の主張である。

これらを自明な部分集合と呼ぶことがある。

命題 $P$ と命題 $Q$ に対し、「$P$ ならば $Q$」を $P \Rightarrow Q$ と書く。
このとき $P \Rightarrow Q$ の真偽は次の真理表で定義する。
$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \Rightarrow Q \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
特に $P$ が $F$ のときは、$Q$ の真偽に関わらず $P \Rightarrow Q$ は必ず $T$ である。
$P$ が $F$ のとき、$Q$ の真偽に関わらず $P \Rightarrow Q$ が常に $T$ になることを 空虚に真 であると言う。

すなわち「空集合である」という性質をもつ集合が$2$つあったとしても、それらは必ず等しい。
したがって、空集合は唯一（unique）である。

任意の対象$a,b,c$について次が成り立つ。

1. 等号は反射律を満たす。すなわち、$a$はそれ自身と等しい。
   $$ a=a $$
2. 等号は対称律を満たす。$a=b$なら同じ対象なので$b=a$である(今回用いたのはこれ)
   $$ a=b\Rightarrow b=a $$
3. 等号は推移律を満たす。$a=b$かつ$b=c$なら、$a$と$c$は同じ対象なので$a=c$である。
   $$ (a=b\land b=c)\Rightarrow a=c $$