【ゲージ理論】Pontrjagin類

特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)

　実ベクトル束の特性類であるPontrjagin類（ポントリヤーギン類）を説明します。実ベクトル束$E$を複素化して複素ベクトル束$E^{\mathbb{C}}(:=E\otimes \mathbb{C})$にしてそのChern類を使って定義します。$E$を実ベクトル束とすると、主$GL(q,\mathbb{R})$束$P$があり、$E=P{\times }_{\rho }{\mathbb{R}}^q$と表されます。また自然な埋め込み$GL(q,\mathbb{R})\hookrightarrow GL(q,\mathbb{C})$を用いて、$E^{\mathbb{C}}=P{\times }_{\rho }{\mathbb{C}}^q$となります。このとき

　Chern類の場合と同様に$GL(q,\mathbb{R})$不変多項式
$$\begin{array}{rl}\det (t{I}_r-\frac{1}{2\pi }X)& =\sum _i{g}_i(X)t^{q-i},\\ X\in \mathfrak{gl}(r,\mathbb{R})\end{array}$$
を考えると、$P$の接続を$A$とするとき、
$$p_k(E)=[g_{2k}(F(A))]$$
となることが簡単にわかります。

　$E$にファイバー計量を入れると接続$A,F(A)$が$\mathfrak{so}(q)$に値を持つようにすることができます。行列式は転置をとっても同じなので
$$\begin{array}{r}\det (t{I}_r-\frac{1}{2\pi })=\det (t{I}_r+\frac{1}{2\pi }X)\end{array}$$
となるので、$g_{2k-1}(F(A))=0$となります。よって奇数次の不変多項式に対してPontrjagin類を考えても意味がないので定義しません。