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【ゲージ理論】Pontrjagin類

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特性類速習(Chern-Weilの定理,Chern類,Pontrjagin類,Euler類)

 実ベクトル束の特性類であるPontrjagin類(ポントリヤーギン類)を説明します。実ベクトル束$E$を複素化して複素ベクトル束$E^\mathbb{C}(:=E\otimes\mathbb{C})$にしてそのChern類を使って定義します。$E$を実ベクトル束とすると、主$GL(q,\mathbb{R})$$P$があり、$E=P\times_\rho\mathbb{R}^q$と表されます。また自然な埋め込み$GL(q,\mathbb{R})\hookrightarrow GL(q,\mathbb{C})$を用いて、$E^\mathbb{C}=P\times_\rho\mathbb{C}^q$となります。このとき

$E$$k$次Pontrjagin類$p_k(E)$
$$ p_k(E)=(-1)^kc_{2k}(E^\mathbb{C})\in H^{4k}_{dR}(M;\mathbb{R}) $$
と定義する。

 Chern類の場合と同様に$GL(q,\mathbb{R})$不変多項式
\begin{align} \det\left(tI_r-\frac{1}{2\pi}X\right)&=\sum_ig_i(X)t^{q-i},\\ X\in\mathfrak{gl}(r,\mathbb{R}) \end{align}
を考えると、$P$の接続を$A$とするとき、
$$ p_k(E)=[g_{2k}(F(A))] $$
となることが簡単にわかります。

 $E$にファイバー計量を入れると接続$A,F(A)$$\mathfrak{so}(q)$に値を持つようにすることができます。行列式は転置をとっても同じなので
\begin{align} \det\left(tI_r-\frac{1}{2\pi}\right)=\det\left(tI_r+\frac{1}{2\pi}X\right) \end{align}
となるので、$g_{2k-1}(F(A))=0$となります。よって奇数次の不変多項式に対してPontrjagin類を考えても意味がないので定義しません。

投稿日:2023521
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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