形式的冪級数環の性質
形式的冪級数環について、悩んだ時に参照するものがパッと見つからなかったのでここにまとめておきます。
アティヤ・マクドナルドの可換代数入門の一章の演習問題や松村先生の可換環論の1章1節に多少記述があります。
形式的冪級数環それ自身について深く述べられている本はあまりみないような気がします。（私が知らないだけかもしれませんが）
$k$:環 とした時に冪級数環$k[[X]]$とは
$$k[[X]]=\{f=\sum_{n=0}^{\infty}a_n X^n|a_n\in k\}$$
のことである。
雑に言えば、無限個の項を許した多項式ということになります。
多項式環と同様に、n変数に拡張することができます。
$k$:環 とした時に冪級数環$k[[X_1,...X_n]]$とは
$$k[[X_1,..,X_n]]=\{f=\sum_{k=0}^{\infty}a_n X_1^{\alpha_1}...X_n^{\alpha_n}|a_n\in k\}$$
のことである。
形式的冪級数環は多項式環の完備化とも言われる。
$A$を環として,形式的冪級数環$A[[X]]$において以下が成り立つ.
$$f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]]が単元 \Leftrightarrow a_0\in AがAの単元$$
$$f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]]がベキ零元 \Rightarrow 任意のi に対して a_i \in AがAのベキ零元$$
$$f=\sum_{n=0}^{\infty}a_nX^n\in A[[X]]がジャコブソン根基に属す \Leftrightarrow a_0\in AがAのジャコブソン根基に属す$$
単元については逐次計算すれば求まる.
冪零元は十分大きい数字でべき乗を計算すればよい.これはAにネータ性を課すと逆側もなりたつ.
ジャコブソン根基に属すことの同値条件について考えればわかる.
$k$を体としたときには形式的冪級数環は実は局所環になることが知られている.その極大イデアルは($X_1,...,X_n$)ではられるイデアルである.
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