形式的冪級数環の性質

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形式的冪級数環について、悩んだ時に参照するものがパッと見つからなかったのでここにまとめておきます。
アティヤ・マクドナルドの可換代数入門の一章の演習問題や松村先生の可換環論の1章1節に多少記述があります。
形式的冪級数環それ自身について深く述べられている本はあまりみないような気がします。（私が知らないだけかもしれませんが）

冪級数環（一変数）

$k$ :環とした時に冪級数環 $k [[X]]$ とは
$k [[X]] = {f = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} X^{n} | a_{n} \in k}$
のことである。

雑に言えば、無限個の項を許した多項式ということになります。
多項式環と同様に、n変数に拡張することができます。

冪級数環（n変数）

$k$ :環とした時に冪級数環 $k [[X_{1}, . . . X_{n}]]$ とは
$k [[X_{1}, . ., X_{n}]] = {f = \sum_{k = 0}^{\infty} a_{n} X_{1}^{α_{1}} . . . X_{n}^{α_{n}} | a_{n} \in k}$
のことである。

形式的冪級数環は多項式環の完備化とも言われる。

$A$ を環として,形式的冪級数環 $A [[X]]$ において以下が成り立つ.
$f = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} X^{n} \in A [[X]] が単元 \Leftrightarrow a_{0} \in A が A の単元$
$f = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} X^{n} \in A [[X]] がベキ零元 \Rightarrow 任意の i に対して a_{i} \in A が A のベキ零元$
$f = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} X^{n} \in A [[X]] がジャコブソン根基に属す \Leftrightarrow a_{0} \in A が A のジャコブソン根基に属す$