有限体をわかりたい

自分用にまとめたものなので, 証明などは省略しています.
誤っているところがあれば, コメントで教えてください!!
(追記)koumeiさんから, 「方程式の解の範囲をどこで考えているかを決めなければいけない. ${\mathbb{F}}_p$の代数閉包を固定しておけば問題ない.」という趣旨のコメントを頂きました。この記事では, ${\mathbb{F}}_p$の代数閉包を固定して考えます！

$p$元体

pを素数とする。

$n1=1+\cdots +1$を, 単に$n$とかくことにする.
環の準同型$\iota :\mathbb{Z}\to K,n\mapsto n$を考えると, $\mathrm{Ker}(\iota )=\text{Char}(K)\mathbb{Z}$であるから,
$$\mathbb{Z}/\text{Char}(K)\mathbb{Z}\simeq \mathrm{Im}(\iota )$$
が成り立つ. $\mathrm{Im}(\iota )\subset K$は整域なので, $\text{Char}(K)$は$0$か素数$p$になる.

${\mathbb{F}}_p^{\times }$は位数$p-1$の巡回群なので, $a\in {\mathbb{F}}_p^{\times }$は$a^{p-1}=1$を満たす.$x^{p-1}-1=0$は高々$p-1$個の解しかもたないので, ${\mathbb{F}}_p^{\times }$は$x^{p-1}=1$の解全体の集合と一致する. さらに$x=0$も考えれば, ${\mathbb{F}}_p$の元は$x^p-x=0$の解全体の集合と一致する.

$q$元体

$F$を位数$q$の有限体で, $\mathrm{Char}(K)=p$とすると, ${\mathbb{F}}_p\subset F$とみなせる. したがって, $F$は${\mathbb{F}}_p$上の有限次ベクトル空間である. その拡大次数を$n=[F:{\mathbb{F}}_p]$とおくと, $q=p^n$が成り立つ. 実際, 基底を$\{e_1,\cdots ,e_n\}$とすれば,
$$F=\{a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n\mid a_i\in {\mathbb{F}}_p\}$$
とかけて, 各$a_i$は$p$元集合${\mathbb{F}}_p$全体を動く.
また, $F^{\times }$は位数$q-1$の巡回群なので, $a\in F^{\times }$は$a^{q-1}=1$を満たす. $x^{q-1}-1=0$は高々$q-1$個の解しかもたないので, $F^{\times }$は$x^{q-1}-1=0$の解全体の集合と一致する. さらに$x=0$も考えれば, $F$の元は$x^q-x=0$の解全体の集合と一致する.

有限体のGalois群

位数$q=p^n$の有限体は${\mathbb{F}}_p$の$n$次拡大体で, $x^q-x$の最小分解体であった. したがって, ${\mathbb{F}}_q/{\mathbb{F}}_p$は$n$次Galois拡大である. そのGalois群について調べよう.

写像${\sigma }_p:{\mathbb{F}}_q\to {\mathbb{F}}_q,x\mapsto x^p$は準同型となる.
$$x^p=y^p\iff x^p-y^p=0\iff 0=(x-y{)}^p=x-y\iff x=y$$
となるので, ${\sigma }_p$は単射である. 位数が等しい有限集合の単射は全単射なので, ${\sigma }_p$は${\mathbb{F}}_q$の自己同型写像である. すると, ${\sigma }_p^2,{\sigma }_p^3,\cdots$も${\mathbb{F}}_q$の自己同型写像になるが, ${\sigma }_p$の位数は$n$である.
したがって, $\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_q/{\mathbb{F}}_p)$は位数$n$の巡回群である.
巡回群の部分群は位数$d\mid n$の巡回群であり, これに対応する中間体は${\mathbb{F}}_{p^d}$であるから,
$${\mathbb{F}}_{p^d}\text{が}{\mathbb{F}}_q\text{の中間体}⟺d\mid n$$
が成り立つ.