Rogersによる3F2の変換公式

前の記事 で扱ったChan-Chan-Liu, Rogersによる3F2の変換公式に関連して, Rogersの2009年の論文において2つの変換公式
\begin{align} \frac{1}{1-4u}\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u^2}{(1-4u)^3}}&=\frac 1{1-16u}\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{-\frac{108u}{(1-16u)^3}}\\ \frac{3}{3+u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u^3}{9(3+u)^4}}&=\frac{1}{1+3u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u}{9(1+3u)^4}} \end{align}
が与えられている. 今回はこれらに証明を与えたいと思う.

1つ目の変換公式

まず, 前の記事 で示したように
\begin{align} \frac{1}{1-4u}\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{\frac{108u^2}{(1-4u)^3}}&=\sum_{0\leq n}u^n\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k} \end{align}
である. Domb数を
\begin{align} D_n:=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{2k}k\binom{2n-2k}{n-k}\qquad n\geq 0 \end{align}
とすると, 前回の記事 で示したように
\begin{align} D_n&=4^n\F43{n+1,\frac 12,-\frac n2,\frac{1-n}2}{1,1,1}1 \end{align}
と表され, 漸化式
\begin{align} (n+1)^3D_{n+1}-2(2n+1)(5n^2+5n+2)D_n+64n^3D_{n-1}=0 \end{align}
を満たす. $D_n$の上の${}_4F_3$による表示によって$D_n$の定義を$n\in\ZZ$に拡張しておくと, それはterminatingであることから前回の記事の証明より漸化式は$n\in\ZZ$でも成り立つこと分かる. 上の漸化式で$n\mapsto -n-1$とすることで, $4\cdot 64^nD_{-n-1}$は$D_n$と全く同じ漸化式と初期条件を満たす数列であることが分かり
\begin{align} D_n&=4\cdot 64^nD_{-n-1}=16^n\F43{-n,\frac 12,\frac{n+1}2,\frac{n+2}2}{1,1,1}1 \end{align}
を得る. この表示を用いると
\begin{align} \sum_{0\leq n}D_nu^n&=\sum_{0\leq n}(16u)^n\sum_{k=0}^n\frac{\left(\frac 12,-n\right)_k(n+1)_{2k}}{k!^44^k}\\ &=\sum_{0\leq k,n}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_k(n+2k)!}{k!^4(n-k)!4^k}(16u)^n\\ &=\sum_{0\leq k,n}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_k(n+3k)!}{k!^4n!4^k}(16u)^{n+k}&& n\mapsto n+k\\ &=\sum_{0\leq k,n}\frac{(-1)^k\left(\frac 12\right)_k(3k)!}{k!^4}(4u)^k(1-16u)^{-3k-1}\\ &=\frac 1{1-16u}\F32{\frac 13,\frac 12,\frac 23}{1,1}{-\frac{108u}{(1-16u)^3}} \end{align}
となるから, 先ほど示した等式と合わせて以下を得る.

2つ目の変換公式

\begin{align} \frac{3}{3+u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u^3}{9(3+u)^4}}&=\frac{1}{1+3u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{\frac{256u}{9(1+3u)^4}} \end{align}
前の記事 で示したように, Almkvist-Zudilin数を
\begin{align} A_n&=3^n\F43{-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,n+1}{1,1,1}1 \end{align}
としたとき,
\begin{align} \sum_{0\leq n}A_nu^n&=\frac 1{1-27u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{256u}{(1-27u)^4}} \end{align}
である. 一方, 上の${}_4F_3$による表示から
\begin{align} \sum_{0\leq n}A_nu^n&=\sum_{0\leq n}(3u)^n\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_{3k}(n+1)_k}{k!^43^{3k}}\\ &=\sum_{0\leq k,n}\frac{(-1)^k(n+k)!}{k!^4(n-3k)!3^{3k}}(3u)^n\\ &=\sum_{0\leq k,n}\frac{(-1)^k(n+4k)!}{k!^4n!3^{3k}}(3u)^{n+3k}&& n\mapsto n+k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(4k)!}{k!^4}(-1)^ku^{3k}(1-3u)^{-4k-1}\\ &=\frac 1{1-3u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{256u^3}{(1-3u)^4}} \end{align}
となる. よって,
\begin{align} \frac 1{1-3u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{256u^3}{(1-3u)^4}}=\frac 1{1-27u}\F32{\frac 14,\frac 12,\frac 34}{1,1}{-\frac{256u}{(1-27u)^4}} \end{align}
を得る. $u\mapsto -\frac u9$として以下を得る.

Rogersの論文においては, 定理1, 定理2はClausenの公式を用いて${}_2F_1$の変換公式に帰着させることによって示されているようである.