多項式版Goldbachの予想

$f(X) = X^d + F_{d - 1} X^{d - 1} + \dotsb + F_1 X + F_0$とする. ここで, $F_{d - 1} - 1 = \pm 1$のときは$f(X)$を$f(X + 2)$で置き換えて, $F_{d - 1} - 1 \neq \pm 1$であるとしてよい. (同型$\mathbb{Z}[X] \stackrel{\sim}{\to} \mathbb{Z}[X + 2], X \mapsto X + 2$で写せばよい.) 補題1により, 任意の素数$p$に対して多項式$g(X) = X^d + p G_{d - 1} X^{d - 1} + \dotsb + p G_1 X + G_0\ (G_0 \equiv p \pmod{p^2})$は$\mathbb{Z}$上既約である. 同様に, 任意の素数$q$に対して多項式$h(X) = X^{d - 1} + q H_{d - 2} X^{d - 2} + \dotsb + q H_1 X + H_0\ (H_0 \equiv q \pmod{q^2})$は$\mathbb{Z}$上既約である. ここで$p \neq q$とすれば, 補題2により$G_i, H_i\ (1 \le i \le d - 2)$を$p G_i + q H_i = F_i$となるようにとることができる. ゆえに, 次の2つを示すことで証明が完了する.
(1) ある素数$p$が存在して$p \mid (F_{d - 1} - 1)$.
(2) ある整数$G_0, F_0$が存在して$G_0 \equiv p \pmod{p^2}, H_0 \equiv q \pmod{q^2}, G_0 + H_0 = F_0$.
(1)は, $F_{d - 1} - 1 \neq \pm 1$だから$p$は$F_{d - 1} - 1$の任意の素因数からとればよい.
(2) $p$と$q$は互いに素だから, $p^2$の$\bmod{p}$における逆元が存在する. これを$(p^2)_q^{-1}$で表わす.
\begin{align} G_0 &= p - (p^2) (p^2)_q^{-1} (p + q - F_0)\\ H_0 &= F_0 - p + (p^2) (p^2)_q^{-1} (p + q - F_0) \end{align}
とすると, $G_0 \equiv p \pmod{p^2}, H_0 \equiv q \pmod{q^2}$であり, $G_0 + H_0 = F_0$である.