変換を用いたε0級の関数の定義
この記事には数学的な厳密性が欠けています。
今後変更がある際には次のPythonコード上で変更がなされます。
https://github.com/sevenseven7136/phi/blob/main/phi.py
Mathlogでは初となる自作巨大数の投稿です。
シリーズ化をするつもりはないので、きちんと見出しもつけていませんが、ご了承ください。
集合$F_n\ (n\in\mathbb N)$を以下のように定義する。
$$F_n=
\begin{cases}
\mathbb N &(n=0)\\
F_{n-1}^{F_{n-1}} &\mathrm{(otherwise)}
\end{cases}$$
集合$F_s$を以下のように定義する。
$$F_s=\bigcup_{n\in\mathbb N_{>0}}F_n$$
以下の条件を満たす変換$S$の集合を$F_*$とする。
- $S:F_s\to F_s$
- $\forall n\in\mathbb N\ [S|_{F_{n}}:F_n\to F_n]$
変換$T\in F_*$を次のように定義する。
$$T(f)=f\circ f$$
関数$\Phi:F_*\times \mathbb N\to F_*$を次のように定義する。
$$\Phi(f,n)=\begin{cases}
f&(n=0)\\
\Phi(f,n-1)(f)&(\mathrm{otherwise})
\end{cases}$$
関数$\phi_l:\mathbb N\to\mathbb N$を次のように定義する。
$$\phi_l(x)=\Phi(\Phi(T,x),x)(f_0)(x)$$
ただし、$f_0(x)=x^x$とする。
関数$\phi_L:\mathbb N\to\mathbb N$を次のように定義する。
$$\phi_L(x)=\Phi_x^x(T)(f_0)(x)$$
ただし、$f_0(x)=x^x$とする。
また、$\Phi_x:F_*\to F_*$は次のように定義される。
$$\Phi_x(f)=\Phi(f,x)$$
2025/03/27 訂正
$\phi_L(x)=\Phi(\Phi_x,x)(T)(f_0)(x)$を現在の定義に
理由：以前の定義では、$\Phi(\Phi_x,x)$が収束しないため。
正確な大きさの解析は追々ということで。
ただ、小ファイ関数はε0級の関数になっているはずです。
