変換を用いたε0級の関数の定義

集合$F_n(n\in \mathbb{N})$を以下のように定義する。
$$F_n=\{\begin{array}{ll}\mathbb{N}& (n=0)\\ F_{n-1}^{F_{n-1}}& (\mathrm{otherwise})\end{array}$$

集合$F_s$を以下のように定義する。
$$F_s=\bigcup _{n\in {\mathbb{N}}_{>0}}{F}_n$$

以下の条件を満たす変換$S$の集合を$F_{\ast }$とする。

• $S:F_s\to F_s$
• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}[S{|}_{F_n}:F_n\to F_n]$

変換$T\in F_{\ast }$を次のように定義する。
$$T(f)=f\circ f$$

関数$\mathrm{\Phi }:F_{\ast }\times \mathbb{N}\to F_{\ast }$を次のように定義する。
$$\mathrm{\Phi }(f,n)=\{\begin{array}{ll}f& (n=0)\\ \mathrm{\Phi }(f,n-1)(f)& (\mathrm{otherwise})\end{array}$$

関数${\varphi }_l:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$を次のように定義する。
$${\varphi }_l(x)=\mathrm{\Phi }(\mathrm{\Phi }(T,x),x)(f_0)(x)$$
ただし、$f_0(x)=x^x$とする。

関数${\varphi }_L:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$を次のように定義する。
$${\varphi }_L(x)={\mathrm{\Phi }}_x^x(T)(f_0)(x)$$
ただし、$f_0(x)=x^x$とする。
また、${\mathrm{\Phi }}_x:F_{\ast }\to F_{\ast }$は次のように定義される。
$${\mathrm{\Phi }}_x(f)=\mathrm{\Phi }(f,x)$$

2025/03/27 訂正
${\varphi }_L(x)=\mathrm{\Phi }({\mathrm{\Phi }}_x,x)(T)(f_0)(x)$を現在の定義に
理由：以前の定義では、$\mathrm{\Phi }({\mathrm{\Phi }}_x,x)$が収束しないため。