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微分可能性に関する同値性の証明を誤魔化さずにちゃんとやってみる(ねっとしらべ)

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

準備

　 $Ω \subset C$ として，連続写像 $f : Ω \to C$ のことを複素関数って定義します．面倒を避けるために $Ω$ は開集合でとっておくことにして，複素関数 $f$ の微分可能性は次で定義します．

$Ω \subset C$ を開集合とする． $f : Ω \to C$ が $c \in Ω$ で微分可能であるとは，極限
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h} \end{array}$
が存在するときをいう．

　複素関数 $f$ が与えられたときに $z \in Ω$ を $z = x + i y (x, y \in R)$ とおけば，ある実連続関数 $u (x, y), v (x, y)$ が存在して
$\begin{array}{r} f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y) \end{array}$
とかけてくれる．このとき $u, v$ が連続になることは，新しく $F (x, y) = (u (x, y), v (x, y))$ みたいな二変数関数を考えて連続性の定義を思い出してあげればすぐわかる．逆に適当な実連続関数 $u (x, y), v (x, y)$ をとって $f (x + i y) = u (x, y) + i v (x, y)$ で $f : Ω \to C$ をとれば， $f$ が連続になることも分かる．だから，連続性だけ見るならば複素関数はベクトル値関数としてみても特に問題はないっぽい．以降，複素関数 $f$ に対して得られる実連続関数 $u (x, y), v (x, y)$ をそれぞれ $f$ の実部，虚部って呼ぶことにする．

本題

複素関数の微分可能性について，次が必要十分条件になる．

$Ω \subset C$ は開集合で $f : Ω \to C$ を複素関数， $c = a + i b \in Ω$ とする．このとき $f$ が $c$ で微分可能であることと， $f$ の実部と虚部 $u, v$ が実関数の意味で $(a, b)$ で微分可能で，かつ等式
$\begin{array}{r} u_{x} (a, b) = v_{y} (a, b), u_{y} (a, b) = - v_{x} (a, b) \end{array}$
が成り立つことは同値．

　この命題の中で与えられてる関係式
$\begin{array}{r} u_{x} (a, b) = v_{y} (a, b), u_{y} (a, b) = - v_{x} (a, b) \end{array}$
はCauche-Riemannの関係式って呼ばれていて，神保先生の複素関数入門には一つの式で書くこともできるって書いてある．まぁでもそっちは今回使わないから，これを指してCauchy-Riemannの関係式と呼ぶことにする．

　こっからこの命題を証明していくわけだけど，実関数の微分可能性周りについて先に色々まとめておくことにします．そっちの方が見やすいし．

二変数の微分可能性

(連続とは限らない)二変数関数 $f : R^{2} \to R$ について，ある実数 $p, q$ が存在して極限
$\begin{array}{r} lim_{(h_{x}, h_{y}) \to (0, 0)} | \frac{f (a + h_{x}, b + h_{y}) - f (a, b) - (p h_{x} + q h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | = 0 \end{array}$
が成り立つとき， $f$ は点 $(a, b)$ で微分可能という．

　関数について「連続とは限らない」って言葉をつけたけど，微分可能だったら次の手順で連続性がわかるからって理由．二変数関数 $f : R^{2} \to R$ が点 $(a, b)$ で微分可能であれば，ある $p, q \in R$ が存在して
$\begin{array}{r} lim_{(h_{x}, h_{y}) \to (0, 0)} | \frac{f (x + h_{x}, y + h_{y}) - f (a, b) - (p h_{x} + q h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | = 0 \end{array}$
が成り立つのだから， $h_{x} = α - a, h_{y} = β - b$ とおけば上の式は
$\begin{array}{r} lim_{(α, β) \to (a, b)} | \frac{f (α, β) - f (a, b) - (p (α - a) + q (β - b))}{\sqrt{(α - a)^{2} + (β - b)^{2}}} | = 0 \end{array}$
が成り立つことと同値になる．さていま，
$\begin{aligned} lim_{(α, β) \to (a, b)} & (f (α, β) - f (a, b)) \\ = lim_{(α, β) \to (a, b)} (f (α, β) - f (a, b) - (p (α - a) + q (β - b)) + (p (α - a) + q (β - b))) \\ = lim_{(α, β) \to (a, b)} (f (α, β) - f (a, b) - (p (α - a) + q (β - b))) \\ = lim_{(α, β) \to (a, b)} \frac{f (α, β) - f (a, b) - (p (α - a) + q (β - b))}{\sqrt{(α - a)^{2} + (β - b)^{2}}} \sqrt{(α - a)^{2} + (β - b)^{2}} \end{aligned}$
となって，どっちの式も $0$ に収束するから全体としても $0$ に収束する．よって連続性の定義から $f (x, y)$ は点 $(a, b)$ で連続となる．でももっと偉くて，微分できるなら偏微分できることも分かる．これは二変数関数 $f (x, y)$ が偏微分可能とは $f (x, y)$ は $x, y$ 軸に沿った方向微分が可能ということに注意すれば，すぐに証明の方針も思いつくと思う．

二変数関数 $f : R^{2} \to R$ が点 $(a, b)$ で微分可能ならば $f$ は点 $(a, b)$ で偏微分可能である．

示すことは二つの極限
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (a + h, b) - f (a, b)}{h}, lim_{h \to 0} \frac{f (a, b + h) - f (a, b)}{h} \end{array}$
が存在することである．仮定からある実数 $p, q$ が存在して
$\begin{array}{r} lim_{(h_{x}, h_{y}) \to (0, 0)} | \frac{f (a + h_{x}, b + h_{y}) - f (a, b) - (p h_{x} + q h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | = 0 \end{array}$
が成り立つから， $h_{y} = 0$ とすれば左の式について
$\begin{aligned} 0 & = lim_{h_{x} \to 0} | \frac{f (a + h_{x}, b) - f (a, b) - p h_{x}}{\sqrt{h_{x}^{2}}} | \\ = lim_{h_{x} \to 0} | \frac{f (a + h_{x}, b) - f (a, b)}{h_{x}} - p | \end{aligned}$
となるから，
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (a + h, b) - f (a, b)}{h} = p \end{array}$
が成り立つ．右の式についても同様．したがって $f$ は点 $(a, b)$ で偏微分可能．

この命題から分かるように， $f (x, y)$ が微分可能であるときに与えられる $p, q$ という実数は，それぞれ $f$ を $x, y$ に関する点 $(a, b)$ での偏微分係数 $f_{x} (a, b), f_{y} (a, b)$ に一致する．実は一般にこの逆は成り立たず，偏導関数が少なくとも一つ連続であることが必要になる．こういう関数のことを $C^{1}$ 級関数とか呼んだりするけど，こっからその名前を使わないので知ってる人だけ「あ～知ってる知ってる」って顔しててください．

定理1の証明

　この証明はこのpdf のp44~45を参照しています． $B I G 謝謝$ ……．

　まず複素関数 $f : Ω \to C$ が点 $c \in Ω$ で微分可能ならば $f$ の実部と虚部が微分可能であることを示す．

$f$ が $c$ で微分可能であるとは，ある実数 $p, q$ が存在して極限についての等式
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} \frac{f (c + h) - f (c)}{h} = p + i q \end{array}$
が成り立つことであった．いま $h = h_{x} + i h_{y} (h_{x}, h_{y} \in R)$ とおけば，
$\begin{aligned} (p + i q) h & = (p h_{x} - q h_{y}) + i (q h_{x} + p h_{y}), \\ f (c + h) - f (c) & = (u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b)) + i (v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b)) \end{aligned}$
が成り立つ．すると，
$\begin{aligned} ∥ f (c + h) - f (c) - (p + i q) h ∥ = ∥ ( & u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})) \\ + i (v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})) ∥ \end{aligned}$
となるから，これを $∥ h ∥ (h \neq 0)$ で割れば，次の等式を得る．
$\begin{aligned} ‖ \frac{f (c + h) - f (c) - (p + i q) h}{h} ‖ & = ‖ \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})}{h} \\ + i \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})}{h} ‖ \end{aligned}$

　もし左辺が $h \to 0$ で $0$ に収束するならば，右辺のノルムの中身の実部と虚部についても $0$ に収束する必要があるから，この実部と虚部のノルムも $0$ に向かう．ここで $∥ h ∥ = \sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}$ だから結局 $u, v$ は点 $(a, b)$ で微分可能となる．

　したがって $f$ の実部と虚部は偏微分もできて，このとき $u_{x} (a, b) = p,, u_{y} (a, b) = - q, v_{x} (a, b) = q, v_{y} (a, b) = p$ となるから，Cauchy-Riemannの関係式も成り立つと分かる．

　あとは逆を示せばいい．

定理1の逆．

$f$ の実部と虚部 $u, v$ が実関数の意味で $(a, b)$ で微分可能で，かつCauchy-Riemannの関係式
$\begin{array}{r} u_{x} (a, b) = v_{y} (a, b), u_{y} (a, b) = - v_{x} (a, b) \end{array}$
が成り立つとする．このとき $u, v$ の微分可能性からある実数 $p_{u}, q_{u}, p_{v}, q_{v}$ が存在して，以下の二つの式
$\begin{array}{r} | \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (p_{u} h_{x} + q_{u} h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} |, | \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p_{v} h_{x} + q_{v} h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | \end{array}$
の，点 $(h_{x}, h_{y})$ が点 $(0, 0)$ へ向かう極限が $0$ になる．この $p_{u}, q_{u}, p_{v}, q_{v}$ はそれぞれ $u, v$ の点 $(a, b)$ における $x, y$ 方向についての偏導値に一致して，この偏導値についてCauchy-Riemannの関係式が成り立つのだから， $u_{x} (a, b) = v_{y} (a, b) = p, u_{y} (a, b) = - v_{x} (a, b) = - q$ とおけばこれらの式はそれぞれ次の式に一致する：
$\begin{array}{r} | \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} |, | \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | \end{array}$

さて，等式
$\begin{aligned} ‖ \frac{f (c + h) - f (c) - (p + i q) h}{h} ‖ & = ‖ \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})}{h} \\ + i \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})}{h} ‖ \end{aligned}$
に関しては， $f$ の微分可能性を使わずに式変形のみで得られるから，右辺について三角不等式を用いれば
$\begin{aligned} ‖ \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})}{h} + i \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})}{h} ‖ \\ \leq ‖ \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})}{h} ‖ + ‖ \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})}{h} ‖ \\ = | \frac{u (a + h_{x}, b + h_{y}) - u (a, b) - (p h_{x} - q h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | + | \frac{v (a + h_{x}, b + h_{y}) - v (a, b) - (q h_{x} + p h_{y})}{\sqrt{h_{x}^{2} + h_{y}^{2}}} | \end{aligned}$
となる．よってはさみうちの原理により
$\begin{array}{r} lim_{h \to 0} ‖ \frac{f (c + h) - f (c)}{h} - (p + i q) ‖ = 0 \end{array}$
となって， $f$ の点 $c$ での微分可能性が分かる．

おわり

　乾燥した感想ですが，冗長だなぁという感じです．まぁわざとそう書いたのでそうなんですけど，やってることとしては定義を使うことと解析特有の謎変形くらい？めんどくさかったです．あと調べてて知ったんですけど，多変数の微分可能性を”全微分可能”とか呼んだりするらしい．次は解析入門I(杉浦)のp122から引用．