微分可能性に関する同値性の証明を誤魔化さずにちゃんとやってみる(ねっとしらべ)

示すことは二つの極限
\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h},\ \lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h} \end{align*}
が存在することである．仮定からある実数$p,q$が存在して
\begin{align*} \lim_{(h_x,h_y)\to (0,0)}\left|\frac{f(a+h_x,b+h_y)-f(a,b)-(ph_x+qh_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right|=0 \end{align*}
が成り立つから，$h_y=0$とすれば左の式について
\begin{align*} 0&=\lim_{h_x\to 0}\left|\frac{f(a+h_x,b)-f(a,b)-ph_x}{\sqrt{h_x^2}}\right|\\ &=\lim_{h_x\to 0}\left|\frac{f(a+h_x,b)-f(a,b)}{h_x}-p\right| \end{align*}
となるから，
\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}=p \end{align*}
が成り立つ．右の式についても同様．したがって$f$は点$(a,b)$で偏微分可能．

$f$が$c$で微分可能であるとは，ある実数$p,q$が存在して極限についての等式
\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=p+iq \end{align*}
が成り立つことであった．いま$h=h_x+ih_y\ (h_x,h_y\in \Rbb)$とおけば，
\begin{align*} (p+iq)h&=(ph_x-qh_y)+i(qh_x+ph_y),\\ f(c+h)-f(c)&=(u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b))+i(v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)) \end{align*}
が成り立つ．すると，
\begin{align*} \|f(c+h)-f(c)-(p+iq)h\|=\|(&u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(ph_x-qh_y))\\ &+i(v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(qh_x+ph_y))\| \end{align*}
となるから，これを$\|h\|\ (h\not=0)$で割れば，次の等式を得る．
\begin{align*} \left\|\frac{f(c+h)-f(c)-(p+iq)h}{h}\right\|&= \left\|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(ph_x-qh_y)}{h}\right.\\ &\left.+i\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(qh_x+ph_y)}{h}\right\| \end{align*}

　もし左辺が$h\to 0$で$0$に収束するならば，右辺のノルムの中身の実部と虚部についても$0$に収束する必要があるから，この実部と虚部のノルムも$0$に向かう．ここで$\|h\|=\sqrt{h_x^2+h_y^2}$だから結局$u,v$は点$(a,b)$で微分可能となる．

$f$の実部と虚部$u,v$が実関数の意味で$(a,b)$で微分可能で，かつCauchy-Riemannの関係式
\begin{align*} u_x(a,b)=v_y(a,b),u_y(a,b)=-v_x(a,b) \end{align*}
が成り立つとする．このとき$u,v$の微分可能性からある実数$p_u,q_u,p_v,q_v$が存在して，以下の二つの式
\begin{align*} \left|\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(p_uh_x+q_uh_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right|,\ \left|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(p_vh_x+q_vh_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right| \end{align*}
の，点$(h_x,h_y)$が点$(0,0)$へ向かう極限が$0$になる．この$p_u,q_u,p_v,q_v$はそれぞれ$u,v$の点$(a,b)$における$x,y$方向についての偏導値に一致して，この偏導値についてCauchy-Riemannの関係式が成り立つのだから，$ u_x(a,b)=v_y(a,b)=p,u_y(a,b)=-v_x(a,b)=-q$とおけばこれらの式はそれぞれ次の式に一致する：
\begin{align*} \left|\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(ph_x-qh_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right|,\ \left|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(qh_x+ph_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right| \end{align*}

さて，等式
\begin{align*} \left\|\frac{f(c+h)-f(c)-(p+iq)h}{h}\right\|&= \left\|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(ph_x-qh_y)}{h}\right.\\ &\left.+i\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(qh_x+ph_y)}{h}\right\| \end{align*}
に関しては，$f$の微分可能性を使わずに式変形のみで得られるから，右辺について三角不等式を用いれば
\begin{align*} &\left\|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(ph_x-qh_y)}{h} +i\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(qh_x+ph_y)}{h}\right\|\\ &\leq \left\|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(ph_x-qh_y)}{h}\right\|+\left\|\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(qh_x+ph_y)}{h}\right\|\\ &=\left|\frac{u(a+h_x,b+h_y)-u(a,b)-(ph_x-qh_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right|+\left|\frac{v(a+h_x,b+h_y)-v(a,b)-(qh_x+ph_y)}{\sqrt{h_x^2+h_y^2}}\right| \end{align*}
となる．よってはさみうちの原理により
\begin{align*} \lim_{h\to 0} \left\|\frac{f(c+h)-f(c)}{h}-(p+iq)\right\|=0 \end{align*}
となって，$f$の点$c$での微分可能性が分かる．