ベクトル解析から代数トポロジーへ2 ~k次微分形式とベクトル解析~

前回 の続きです。

ベクトル場を微分形式で抽象化

便宜上、$f(0)=0$としている。

上の主張はだいぶかっこいいが$\mathbb{R}^n$上で$\text{grad},\text{rot},\text{div}$を考えるというのはどういうことか。$\text{grad},\text{div}$はなんとなくできそうだが、$\text{rot}$はどうすればいいだろうか皆目見当がつかない。これを外微分というもので考えてみよう。最初は全微分だ。

全微分をおさらいしよう。$n$変数関数$f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$を一次近似することを考えたとき、
$$f(x_1,\dots,x_n)=\frac{\partial f}{\partial x_1}x_1 +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}x_n + O^2(x_1,\dots,x_n)$$
とできるわけだが、この一次近似部分を
$$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$
と置くわけだ。僕はこれを言われてはぁ？$d x$はなに？ってなった記憶がある。そのため少し説明の仕方を変えてみよう。$\mathbb{R}^n$の中に原点を通る滑らかな曲線$c(t)=(c_1(t),\dots,c_n(t))\in\mathbb{R}^n$を取る。これを$f$の中に放りこんで、原点での像の接ベクトル、つまり接する方向を見てみる。
$$\left.\frac{d}{dt}f\circ c(t)\right|_{t=0}=\left.\frac{\partial f}{\partial x_1}\frac{d}{dt}c_1(t) +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}\frac{d}{dt}c_1(t) \right|_{t=0}= \qty(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n})\cdot \left.\qty(\frac{dc_1}{dt},\dots,\frac{dc_n}{dt})(t)\right|_{t=0}$$
つまり$c(t)$の接ベクトルに偏微分を並ばせたベクトル(ヤコビ行列という)との内積で表される。この$c(t)$の接ベクトルを変数化して$d x_1,\dots,dx_n$に置き換えたものが全微分である。なぜ変数化したかというと、
$$df:c'(t)|_{t=0}\mapsto\qty(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n})\cdot c'(t)|_{t=0}$$
という写像を考えたい。これを考えることで$f$の微分が線形写像としてみれるのだ。$c'(t)|_{t=0},d'(t)|_{t=0}$を二つ取れば、$df(kc'(t)|_{t=0}+ld'(t)|_{t=0}) = kdf(c'(t)|_{t=0})+ldf(d'(t)|_{t=0})$という関係式から想像ができるだろう。

この微分は微分写像ともいう。このときの定義域は何だろうか。$\mathbb{R}^n$内の滑らかな曲線$c(t)$の原点での接ベクトルが引数だった。それをすべて集めた集合$\qty{c'(t)\in\mathbb{R}^n\ |\ c(t)\text{：$\mathbb{R}^n$内の滑らかな曲線}}$を考える。これは原点から延びるベクトル全体で接空間$T_0\mathbb{R}^n$という。微分写像は$df:T_0\mathbb{R}^n\to T_0\mathbb{R}$という写像として書けるわけだ。

ちなみに全微分は、例えば$f=x^2+y^2$としたとき、$df=2xd x + 2ydy$となるが、$x=1,y=1$みたいに指定して、$2dx+2dy$という風な各点での線形近似を得たいというモチベーションを感じる。つまり空間の点を決めて線形写像を得ているので、全微分は双対写像であるから難しく感じるのかもしれない。記号で書くと$df:\mathbb{R}^n\to (T_p\mathbb{R}^n)^*=T_p^*\mathbb{R}^n$となる。

この書き方には定義域の元が値域に依存しているので、少し嫌である。そこで接バンドル$T\mathbb{R}^n$という概念を入れる。難しくはなく、接空間を束ねただけである。$T\mathbb{R}^n=\qty{(p,T_p\mathbb{R}^n)\ |\ p\in\mathbb{R}^n}$。後者の接空間の双対を取りたいので余接バンドル$T^*\mathbb{R}^{n}$を$ \qty{(p,T_p^*\mathbb{R}^{n}\ |\ p\in\mathbb{R}^n}$で定義すれば、全微分は以下のように定義できるだろう。
$$df:\mathbb{R}^n\ni p\mapsto (df)_p\in T^*\mathbb{R}^n$$

さてこれで外微分を定義できる土壌が整った。これから考えるのは余接バンドルはどのような基底で書けるのかという疑問だ。余接空間が接空間の双対だったことから、接空間の基底$\partial_{x_1},\dots,\partial_{x_n}$の双対基底を取ればいい。つまり$T_p\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$の写像で$\partial_{x_i}\mapsto1$となり、それ以外の基底では0に対応するような線形写像が余接空間の基底だろう。この写像のことを$dx_i$と書く。

全微分を思い出してみよう。
$$df:\mathbb{R}^n\ni 0\mapsto (df)_0=\frac{\partial f}{\partial x_1}(0)dx_1 +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}(0)dx_n\in T^*\mathbb{R}^n$$
であった。この像は$(df)_0:T_0\mathbb{R}^n\to T_0\mathbb{R}$という線形写像として見れるわけである。この$dx_i$らと上で定義した余接空間の基底は一致しているのか？$c(t)=(t,0,\cdots,0)$という曲線の原点での接ベクトル$\frac{dc}{dt}|_{t=0}はT_0\mathbb{R}^n$の1つの基底を与える。これの微分を考えてみよう。定義通りにやれば
$$\frac{d}{dt}f\circ c (t) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(c(0))\times1 = \frac{\partial f}{\partial x_1}(0)$$
となっている。また$(df)_0$らの$dx_i$らを余接空間の基底と思えば
$$(df)_0\qty(\left.\frac{dc_1}{dt}\right|_{t=0}) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(0)dx_1(\partial_{x_1}) +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}(0)dx_n(\partial_{x_1})=\frac{\partial f}{\partial x_1}(0)$$
という風になるため一致していることがわかる。原点からずらしても、ほかの$T_0\mathbb{R}^n$の基底でも同じように確かめられる。よって$T^*\mathbb{R}^n$は$dx_i$で張れている。ちなみに$dx_i$とは各点で$(dx_i)_p$という余接空間の基底を各点で集めたもので、$dx_i:\mathbb{R}^n\ni p\mapsto (dx_i)_p\in T^*\mathbb{R}^n$で定義される。

ここで微分というものを再考しよう。全微分というのは$p$という点から余接空間への双対写像であり、微分写像は接空間から接空間への線形写像だった。どちらも関数を固定して微分を考えていた。次は関数を固定しないで微分というものを定義する。例えば、勾配場なども関数は色々なものを見比べて考えるべきだろうから、そのアナロジーだ。滑らかな関数$f\in C^\infty(\mathbb{R}^n)$を取る。考えることは上と同じで、この$f$に”全微分”を対応させる。つまり以下の写像である。
$$C^\infty(\mathbb{R}^n)\ni f\mapsto df\in T^*\mathbb{R}^n$$
これを外微分という。記号を$d$で表す。以下は外微分の計算である。
$$df=\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 +\cdots+ \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$
この外微分の結果を基底$dx_1,\dots,dx_n$の成分表示してみよう。$\qty(\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial x_n})$となる。これはちょうど$\text{grad}$に一致しているだろう。つまり外微分は$\text{grad}$のアナロジーになっているのだ。像のことを1次微分形式という。双対写像は1‐形式とか言うのの潮流を継いでいる。

高次微分形式

このまま$\text{rot},\text{div}$を定義していきたい。どうすればいいだろうか？このまま外微分をし続ければ良さそうだ。一次微分形式全体の元は$\displaystyle \omega=\sum^n_{i=1}f_idx_i$のような表示ができる。これを外微分するとしたら関数の場所しかないから、そこを外微分すると
$$\omega \mapsto \sum^n_{i=1}\qty(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_j}dx_j)dx_i \ \ \ (?)$$
とできるだろう。ここで気を付けないといけないことは、余接空間の基底$dx_i,dx_j$の積を考えないといけない。これは余接空間に自然に定まっている構造ではないため、新しく積ができるような空間を考えなければならない。そこで出てくるのが外積代数・ウェッジ積だ。

ここで考察すべきは積にはどのような性質を持っていてほしいかだ。しかも数の積ではなく、接空間の基底の双対写像の積で。手始めに基底を調べてみよう。$dx_i$を外微分してみれば$\qty(\sum_j\frac{\partial 1}{\partial x_j}dx_j)dx_i=0$より、無くなってしまうから考察しがいがない。そこで関数を二階外微分した場合を考え、$n=2$で考えよう。つまり$x_1\to x$, $ x_2\to y$とする。$f(x,y)$を二階外微分すれば
$\xymatrix{ f(x,y) \ar@{|->}[r]^-{d} & \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy \ar@{|->}[r]^-{d} & \qty(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}dx + \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}dy)dx+\qty(\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}dx + \frac{\partial^2f}{\partial^2 y}dy)dy \ar@{=}[d]\\ && \qty(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}dx)dx + \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\qty{\qty(dy)dx+\qty(dx)dy} + \qty(\frac{\partial^2f}{\partial^2 y}dy)dy }$
となる。二階外微分をしたら0になることをde Rham複体で保障されてたことを思い出すと、同じように外微分が満たされるようにするには、$d(df)=0$となるように、積を定義されればいい。つまり
$$(dx)dx=0,\ \ \ (dy)dx=-(dx)dy,\ \ \ (dy)dy=0$$
このような性質を交代性という。$n$変数で式に表しておくと$(dx_i)dx_j=-(dx_j)dx_i$という式になる。なんとこの式、$i=j$のとき$(dx_i)dx_i=-(dx_i)dx_i\ \Leftrightarrow \ (dx_i)dx_i=0$が成り立つため、同じものの積は0になってしまう。このことも含めて積に交代性が入っていてほしいわけだ。

これのほかにどんな構造を持っていてほしいか。まず写像の積だから特定の基底を入れたら1になり、それ以外の基底は0だといい。また分配法則はあってほしい。基底を入れてみよう。写像が二つあるため二つの元を入れられ、どちらの元に対しても線形性がある。つまりこの線形写像の積は、双線形を持っているわけだ。交代性を持った双線形写像は行列式で書けるというくそつよ定理があるため、このことを利用させてもらおう。

1次微分形式の組$(\omega_1,\omega_2):T\mathbb{R}^2\times T\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$を$(\omega_1,\omega_2)=(f_1dx+g_1dy, f_2dx+g_2dy)$に対して、$(u,v)=(a_1\partial_x+b_1\partial_y,a_2\partial_x+b_2\partial_y)\in T\mathbb{R}^2\times T\mathbb{R}^2$と置くと、

$$(\omega_1,\omega_2)(u,v)=\qty|\begin{array}{cc} \omega_1(u) & \omega_2(u)\\ \omega_1(v) & \omega_2(v) \end{array}|=\qty|\begin{array}{cc} a_1f_1+b_1g_1 & a_1f_2+b_1g_2\\ a_2f_1+b_2g_1 & a_2f_2+b_2g_2 \end{array}|=\qty|\begin{array}{cc} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{array}|\cdot\qty|\begin{array}{cc} f_1 & f_2\\ g_1 & g_2 \end{array}|$$
と定義してこれを積とする。$\Omega(u,v)=\qty|\begin{array}{cc} a_1 & b_1\\ a_2 & b_2 \end{array}|$と置いて$(dx)dx, (dy)dx, (dx)dy, (dy)dy$をそれぞれ求めると
$$(dx,dx) = \Omega(u,v)\qty|\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}| = 0,\ \ \ (dy,dx) = \Omega(u,v)\qty|\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}| = -\Omega(u,v),\ \ \ $$
$$(dx,dy) = \Omega(u,v)\qty|\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}| = \Omega(u,v),\ \ \ (dy,dy) = \Omega(u,v)\qty|\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array}| = 0 $$
となって基底に対して交代性を持っていることがわかる。また行列式の定義から双線形性がわかり、満たしてほしい性質をすべて満たす。これで1次微分形式の積が定義できた。

なんかわちゃわちゃ計算しているが、大事なのはとりあえず1次微分形式に積構造が与えられて、交代性$dx_i\wedge dx_j = -dx_j\wedge dx_i$と分配律$(\omega_1+\omega_2)\wedge \eta=\omega_1\wedge \eta+\omega_2\wedge\eta$を持つように定義されたということだ。ぜひこの定義から成り立つかを確かめてほしい。この定義に慣れ親しむいいきっかけになるだろう。

これの定義をして次に問題になるのは$\bigwedge^2T^*\mathbb{R}^n$の基底は何かだ。ちゃんと書くのは多分面倒くさいのでこのベクトル空間を貼る空間の生成元を考えてみる。簡単に考え着くのが$\bigwedge^1T^*\mathbb{R}^n$の基底を外積取ったものがそれなのではないかと予想がつくので、計算してみる。$dx_i,dx_j\in\bigwedge^1T^*\mathbb{R}^n$を取ってこれの外積を取ると
$$dx_i\wedge dx_j = \det{*\times \qty(\begin{array}{ccccc} 0 & \cdots & \cdots & \overbrace{1}^{i} & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \underbrace{1}_{j} & \cdots & \cdots & 0 \\ \end{array})}$$
つまり一般の行列$\qty(f^l_n)_{nl}$をこの生成元で表せればいいが、これは自明だろう。

※１　なぜ基底を考えないかというとこの分解を一意に与えないといけないがそれはすごい面倒くさそうなので、読者に任せたい。

※２　交代性は以下の行列式のの$ij$を交換すればいい。
$$\det{*\times \qty(\begin{array}{ccccc} 0 & \cdots & \cdots & \overbrace{1}^{i} & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \underbrace{1}_{j} & \cdots & \cdots & 0 \\ \end{array})}$$
行列式の行入れ替えはある行列との積を考えればよかったから、その計算をしていけば交代性が示せる。

この外積を使って外微分を定義する。と言っても、先にやった計算を外積で書くだけだ。一次微分形式全体の元は$\displaystyle \omega=\sum^n_{i=1}f_idx_i$というように書けて、これの外微分は次のように定義する。
$$\omega \mapsto \sum^n_{i=1}\qty(\sum_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_j}dx_j)\wedge dx_i=\sum^n_{i=1}df\wedge dx_i$$

さて2次微分形式まではあるが、de Rham複体を実現できているかを確かめてみよう。次を計算すればいい。
$\xymatrix@C=36pt@R=4.5pt{ 0 \ar[r] & \bigwedge^0T^*\mathbb{R}^n \ar[r]^-{d} & \bigwedge^1T^*\mathbb{R}^n \ar[r]^-{d} & \bigwedge^2T^*\mathbb{R}^n \ar[r] & \cdots\\ & f \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & df \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & d(df) \ar@{(-}[u] }$
$$d(df) = d\qty(\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i) = \sum_i\qty(\sum_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}dx_j)\wedge dx_i = \sum_{ij}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}dx_j\wedge dx_i$$
$ij$の組を考えれば、逆セットが1組ずつに同じ組が1組ずつなので前者が$\pm$で打ち消し合い、後者は0になるため$d(df)=0$を得る。

一般の$k$次微分形式を定義していこう。と言っても今までほぼ同じように定義していく。多重双線形写像で交代性を持つような写像は行列式で表せるから$dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_k}$らはそのような多重線形交代写像として定めれば、同様に外積などを定義できる。

具体例

$n=2$と$n=3$で計算してみる。

$n=2$のとき$f(x,y)\in \bigwedge^{0}T^*\mathbb{R}^2$であり、それの外微分とその外微分は以下の通りとなる。
$$df = f_xdx+f_ydy$$
$$\begin{array}{rcl} \leadsto\ d(df) &=& (f_{xx}dx + f_{xy}dy)\wedge dx + (f_{yx}dx +f_{yy}dy)\wedge dy \\ &=& f_{xy}dy\wedge dx+ f_{yx}dx\wedge dy \ =\ 0 \end{array}$$
1次微分形式は$\omega =fdx+gdy\in\bigwedge^{1}T^*\mathbb{R}^2$と表せ、外微分とその外微分は以下の通りとなる。
$$d\omega =(f_x dx+f_ydy)\wedge dx + (g_x dx + g_ydy)\wedge dy = f_y dy\wedge dx + g_xdx\wedge dy = (-f_y+g_x)dx\wedge dy$$
$$\leadsto\ d(d\omega) = \qty{(-f_{yx}+g_{xx})dx+(-f_{yy}+g_{xy})dy}\wedge dx\wedge dy=*dx\wedge dy \wedge dy+*dy\wedge dy \wedge dy$$
ここで同じ元をウェッジすると、同じ元を入れ替えればマイナス倍されるため
$$dx\wedge dx\wedge dy = -dx\wedge dx\wedge dy\ \Leftrightarrow \ dx\wedge dx\wedge dy=0$$
から$d(d\omega)=0$を得る。また2次微分形式を外微分すれば、同じ1次微分方程式でウェッジすることになるので0元になってしまうことがわかる。これを踏まえてde Rham複体を作れば
$\xymatrix@C=20pt@R=3.5pt{ && \omega=fdx+gdy \ar@{(-}[d] \ar@{|->}[r] & (-f_y+g_x)dx\wedge dy \ar@{(-}[d] \ar@{|->}[r] & 0 \ar@{(-}[d] \\ 0 \ar[r] & \bigwedge^0T^*\mathbb{R}^2 \ar[r]^-{d} & \bigwedge^1T^*\mathbb{R}^2 \ar[r]^-{d} & \bigwedge^2T^*\mathbb{R}^2 \ar[r] & 0\\ & f \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & f_xdx+f_ydy \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & 0 \ar@{(-}[u] }$
$d\omega$をみてGreenの定理を思い出せると嬉しい。

$n=3$で計算してみよう。$f(x,y,z)\in \bigwedge^{0}T^*\mathbb{R}^3$の外微分とその外微分は以下の通りとなる。
$$df=f_x dx + f_y fy + f_z dz$$
$$\begin{array}{rcl} \leadsto\ d(df) &=& (f_{xx} dx + f_{xy} dy+ f_{xz} dz)\wedge dx \\ &&\ + (f_{yx} dx + f_{yy} dy+ f_{yz} dz)\wedge dy + (f_{zx} dx + f_{zy} dy+ f_{zz} dz)\wedge dz \\ &=& (-f_{xy}+f_{yx})dx\wedge dy + (-f_{yz}+f_{zy})dy\wedge dz + (f_{xz}-f_{zx})dz\wedge dx \\ &=& 0 \end{array}$$
1次微分形式は$\omega =fdx+gdy+hdz\in\bigwedge^{1}T^*\mathbb{R}^3$と表せ、それの外微分はと素の外微分は以下の通りとなる。
$$\begin{array}{rcl} d\omega &=& (f_x dx+f_ydy+f_zdz)\wedge dx + (g_x dx + g_ydy+g_zdz)\wedge dy + (h_x dx + h_ydy+h_zdz)\wedge dz \\ &=& (-f_y+g_x)dx\wedge dy + (-g_z+h_y)dy\wedge dz + (-h_x+f_z)dz\wedge dx \end{array}$$
$$\begin{array}{rcl} \leadsto d(d\omega) &=& \qty{*+(-f_{yz}+g_{xz})dz}\wedge dx\wedge dy \\ &&\ + \qty{*+(-g_{zx}+h_{yx})dx}\wedge dy\wedge dz + \qty{*+(-h_{xy}+f_{zy})dy}\wedge dz\wedge dx \\ &=& \qty{(-f_{yz}+g_{xz})+(-g_{zx}+h_{yx})+(-h_{xy}+f_{zy})}dx\wedge dy\wedge dz \\ &=& 0 \end{array}$$
分かってても改めて計算すると、お～～となる。というか初計算かも。次は2次微分形式の1階の外微分を計算しよう。2階は同じ基底のウェッジになるので自明に0である。2次微分形式を以下でおく。
$$\omega =fdx\wedge dy + gdy\wedge dz + hdz\wedge dx\in\bigwedge^{2}T^*\mathbb{R}^3$$
$$\begin{array}{rcl} d\omega &=& (*+f_zdz)dx\wedge dy + (*+g_xdx)dy\wedge dz + (*+h_ydz)dz\wedge dx\\ &=& (f_z+g_x+h_z)dx\wedge dy\wedge dz \end{array}$$
これらを踏まえてde Rham複体を作れば
$\xymatrix@C=20pt@R=3.5pt{ && \omega \ar@{(-}[d] \ar@{|->}[r] & d\omega \ar@{(-}[d] \\ 0 \ar[r] & \bigwedge^0T^*\mathbb{R}^3 \ar[r]^-{d} & \bigwedge^1T^*\mathbb{R}^3 \ar[r]^-{d} & \bigwedge^2T^*\mathbb{R}^3 \ar[r] & \bigwedge^2T^*\mathbb{R}^3 \ar[r] & 0\\ & f \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & f_x dx + f_y fy + f_z dz \ar@{(-}[u] & fdx\wedge dy + gdy\wedge dz + hdz\wedge dx \ar@{(-}[u] \ar@{|->}[r] & (f_z+g_x+h_z)dx\wedge dy\wedge dz \ar@{(-}[u] }$

ベクトル解析再考

やっと$\text{rot},\text{div}$が何なのかを理解できる。だが上の計算例を見てみよう。
$$d(fdx+gdy+hdz)=(-f_y+g_x)dx\wedge dy + (-g_z+h_y)dy\wedge dz + (-h_x+f_z)dz\wedge dx$$
$$d(fdx\wedge dy + gdy\wedge dz + hdz\wedge dx)=(f_z+g_x+h_y)dx\wedge dy\wedge dz$$
この対応を成分表示で眺めてみると以下のようになる。
$$\qty(\begin{array}{c} f\\ g\\ h \end{array})\cdot(dx,dy,dz)\xmapsto{d}\qty(\begin{array}{c} -f_y+g_x\\ -g_z+h_y\\ -h_x+f_z \end{array})\cdot(dx\wedge dy,dy\wedge dz,dz\wedge dx)$$

$$\qty(\begin{array}{c} f\\ g\\ h \end{array})\cdot(dx\wedge dy,dy\wedge dz,dz\wedge dx)\xmapsto{d}(f_z+g_x+h_z)dx\wedge dy\wedge dz$$
あれ？となるだろうか。$\text{rot},\text{div}$を計算してみよう。
$$\text{rot}\qty(\begin{array}{c} f\\ g\\ h \end{array}) = \qty(\begin{array}{c} -g_z+h_y\\ -h_x+f_z\\ -f_y+g_x \end{array}),\ \ \ \text{div}\qty(\begin{array}{c} f\\ g\\ h \end{array})=f_x+g_y+h_y$$

順番がおかしいのがわかるだろうか。これはどういうことなのだろうか。実はただ外微分しただけでは同一視できず、ある写像を噛ますとうまく行く。まず$\text{rot}$の返す値はベクトル場であるため2次微分形式ではない。そのため何か変換しないといけない。ここに出てくるのがHodgeスターという作用素で2次微分形式を1次微分形式に送る写像$*:\bigwedge^{2}T^*\mathbb{R}^3 \to \bigwedge^{3-2}T^*\mathbb{R}^3$を考える。これは抽象ベクトル空間として基底の数が同じだから同型になり、基底の対応だけ見ればあとは線形性から係数をくっ付ければいい。
$$dx\wedge dy \xmapsto{*} dz,\ \ \ dy\wedge dz\xmapsto{*} dx,\ \ \ dz\wedge dx\xmapsto{*} dy$$
この対応を$d\omega$に作用させると
$$\begin{array}{rcl} *d(fdx+gdy+hdz) &=& *\qty{(-f_y+g_x)dx\wedge dy + (-g_z+h_y)dy\wedge dz + (-h_x+f_z)dz\wedge dx}\\ &=& (-f_y+g_x)dz + (-g_z+h_y)dx + (-h_x+f_z)dy \end{array}$$
となり、これなら順番が一致している。つまり2次微分形式の元として$\text{rot}$を視ようとするのが間違っていたのだ。$\text{div}$も同様であるが、少し面倒な作用素$*d*$を考えないといけない。これを余微分という。先にHodgeスターで飛ばした後に外微分してHodgeスターをまた噛ます操作をすると、うまく$\text{div}$と同一視できる。また飛ばすものは1次微分形式で、Hodgeスターは上の逆対応だ。実際に計算してみよう。$\omega=fdx + gdy + hdz$と置く。
$$\begin{array}{rcl} *d*\omega &=& *d(fdy\wedge dz + gdz\wedge dx + hdx\wedge dy) \\ &=& *\qty{(f_x+g_y+h_z)dx\wedge dy\wedge dz} \end{array}$$
3次微分形式でのHodgeスター$*:\bigwedge^{3}T^*\mathbb{R}^3 \to \bigwedge^{3-3}T^*\mathbb{R}^3$は$dx\wedge dy\wedge dz\mapsto1$で定義されるので
$$\begin{array}{rcl} *d*\omega &=& f_x+g_y+h_z \end{array}$$
より確かに$\text{div}$と一致することがわかる。単純に外積だけでは足りないのだ。Hodgeスターや余微分を考えなければならない。

次回→工事中