本記事では位相群
この命題は Lie群などをやろうとするとどこかで出てくる命題だと思います. 多様体は定義でハウスドルフ性を課すため, 例えばLie群(群構造を持つ滑らかな多様体であってそれらが両立するもの)の剰余群が再びLie群であるためには, この命題からその正規部分群が閉でなければならないことが分かります.
群
(1) 剰余群
(2)
この命題の証明は細部までしっかり書こうとすると長くなってしまいます. なので, まず最初に数学的に不十分ではない程度の証明を述べ, そこに含まれる小さくない行間を
(1)
(2)
ハウスドルフ性の定義通り,
仮定より
をみたす
である.
以下
まず
となるが, 一方で
以上により任意の2つの相異なる元
まず, 行間
固定された
任意に
補題2における
位相群の定義により逆元を取る写像
後半の主張は, 任意の
この下で
位相群の定義により積
と表せる. 仮定より
である. よって
この
である. よって主張を得る.
商写像
である. 補題3から各