Vandermondeの行列式の派生形

$i\ne j$かつ$x_i=x_j$のとき左辺の行列式は$0$となるので, 左辺を$x_1,\dots ,x_n$の多項式として見たときに$x_i-x_j$で割りきれることがわかる.
したがって, ある多項式$P(x_1,\dots ,x_n)$を用いて
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {x_1}^{n-1}& {x_2}^{n-1}& \cdots & {x_n}^{n-1}\end{array}\right|=P(x_1,\dots ,x_n)\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$
と書ける.
両辺の次数を比較すると$P$は$0$次であることがわかる.
両辺の$x_2{x_3}^2\cdots {x_n}^{n-1}$の係数を比較すると$P=1$が得られ, 定理が示された.

定理1の証明と同様にして, $1$次多項式$P$を用いて
$$\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {x_1}^{n-2}& {x_2}^{n-2}& \cdots & {x_n}^{n-2}\\ {x_1}^n& {x_2}^n& \cdots & {x_n}^n\end{array}\right|=P(x_1,\dots ,x_n)V_n$$
と書けることがわかる.
ここで, 左辺は交代式であるため, $P$は対称式である.
また, 左辺および$V_n$は斉次式であるため, $P$は斉次式である.

$P$は斉次な$1$次の対称式なので定数$C$を用いて$P=C(x_1+\cdots +x_n)$と書ける.
両辺の$x_2{x_3}^2\cdots {x_{n-1}}^{n-2}{x_n}^n$の係数を比較すると$C=1$が得られるので定理が示された.

$(n,k)$に関する帰納法による.
$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {x_1}^{n-2}& {x_2}^{n-2}& \cdots & {x_n}^{n-2}\\ {x_1}^{n+k-1}& {x_2}^{n+k-1}& \cdots & {x_n}^{n+k-1}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ x_1& x_2-x_1& \cdots & x_n-x_1\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {x_1}^{n-2}& {x_2}^{n-2}-{x_1}^{n-1}& \cdots & {x_n}^{n-2}-{x_1}^{n-1}\\ {x_1}^{n+k-1}& {x_2}^{n+k-1}-{x_1}^{n+k-1}& \cdots & {x_n}^{n+k-1}-{x_1}^{n+k-1}\end{array}\right|\\ & =\prod _{i=2}^n(x_i-x_1)\times \left|\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {x_2}^{n-3}+\cdots +{x_1}^{n-3}& \cdots & {x_n}^{n-3}+\cdots +{x_1}^{n-3}\\ {x_2}^{n+k-2}+\cdots +{x_1}^{n+k-2}& \cdots & {x_n}^{n+k-2}+\cdots +{x_1}^{n+k-2}\end{array}\right|\\ & =\prod _{i=2}^n(x_i-x_1)\times \left|\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {x_2}^{n-3}& \cdots & {x_n}^{n-3}\\ {x_2}^{n+k-2}+\cdots +{x_2}^{n-2}{x_1}^k& \cdots & {x_n}^{n+k-2}+\cdots +{x_1}^{n+k-2}\end{array}\right|\end{array}$$
であるため, $(n-1,0),\dots ,(n-1,k)$で成り立てば$(n,k)$で成り立つ.
$n=1$のとき成り立っているため, 任意の$(n,k)$で成り立つ.

$$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& \cdots & 1& 1\\ x_1& x_2& \cdots & x_n& z\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {x_1}^{n-k-1}& {x_2}^{n-k-1}& \cdots & {x_n}^{n-k-1}& z^{n-k-1}\\ {x_1}^{n-k}& {x_2}^{n-k}& \cdots & {x_n}^{n-k}& z^{n-k}\\ {x_1}^{n-k+1}& {x_2}^{n-k+1}& \cdots & {x_n}^{n-k+1}& z^{n-k+1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ {x_1}^n& {x_2}^n& \cdots & {x_n}^n& z^n\end{array}\right|=\prod _{i=1}^n(z-x_i)\cdot V_n$$
である.
左辺を第$n+1$列で余因子展開して$z^{n-k}$の係数を比較すると定理が得られる.

${\displaystyle (z_2-z_1)\prod _{i=1}^n(z_1-x_i)\prod _{i=1}^n(z_2-x_i)}$の${z_1}^{n-k}{z_2}^{n-j}$の係数の$(-1{)}^{j+k+1}$倍を計算することで示される.