キモ分数階微分
なにする
$$ f(x) = \left.\frac{d^x}{dt^x}g(t)\right|_{t=x}, \space g(x) = x $$
の概形を見る。
予想
$f(0) = 0$
$f(1) = 1$
$f(n) = 0, \space n \geq 2$
なので、$x$が$0$から$1$にかけてその後は、振動しながら$0$に漸近する？
わかってること
$$ \frac{d^a}{dx^a}x^k = \frac{k!}{(k-a)!}x^{k-a}=\frac{\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}x^{k-a} $$
式変形してみる
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \left.\frac{d^x}{dt^x}g(t) \right|_{t=x} \\
&=& \left. \frac{\Gamma (1+1)}{\Gamma (1-x+1)}t^{1-x} \right|_{t=x} \\
&=& \left. \frac{1!}{\Gamma (2-x)}t^{1-x} \right|_{t=x} \\
&=& \frac{x^{1-x}}{\Gamma (2-x)} \\
\end{eqnarray}
意外と丸くなった。
...？
式変形したけど想像がつかない。
こんなときはDesmosさんに頼るに限る。
![!FORMULA[11][1931452506][0]のグラフ](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2Fpc9v1cwAPLvdoTl8Mlb8.png?alt=media)
$ x^{1-x} / \Gamma (2-x) $のグラフ
振動してるな～（感嘆）
振動してた～
振動してた。
じゃあこれはどう？
$$ f(x) = \left.\frac{d^x}{dt^x}g(t)\right|_{t=x}, \space g(x) = x^x $$
さっきと同じ方法で式変形すると、
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \left.\frac{d^x}{dt^x}g(t) \right|_{t=x} \\
&=& \left. \frac{\Gamma (t+1)}{\Gamma (t-x+1)}t^{t-x} \right|_{t=x} \\
&=& \frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-x+1)}x^{x-x} \\
&=& \frac{\Gamma (x+1)}{\Gamma (1)} \\
&=& \Gamma (x+1) \\
\end{eqnarray}
わお！$\Gamma (x+1)$になった。
補
調べてみると、$n!$の定義として、
$$
n! := \frac{d^n}{dx^n}x^n
$$
というものもあるらしい。
上の追加検証の結果はこれにも一致する。
嬉
嬉
嬉
終
