キモ分数階微分

なにする

の概形を見る。

予想

$f(0)=0$
$f(1)=1$
$f(n)=0,n\ge 2$
なので、$x$が$0$から$1$にかけてその後は、振動しながら$0$に漸近する？

わかってること

式変形してみる

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& {\frac{d^x}{d{t}^x}g(t)|}_{t=x}\\ & =& {\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-x+1)}{t}^{1-x}|}_{t=x}\\ & =& {\frac{1!}{\mathrm{\Gamma }(2-x)}{t}^{1-x}|}_{t=x}\\ & =& \frac{x^{1-x}}{\mathrm{\Gamma }(2-x)}\end{array}$$
意外と丸くなった。

...？

式変形したけど想像がつかない。
こんなときはDesmosさんに頼るに限る。

$x^{1-x}/\mathrm{\Gamma }(2-x)$のグラフ

振動してるな～（感嘆）

振動してた～

振動してた。

じゃあこれはどう？

さっきと同じ方法で式変形すると、
$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& {\frac{d^x}{d{t}^x}g(t)|}_{t=x}\\ & =& {\frac{\mathrm{\Gamma }(t+1)}{\mathrm{\Gamma }(t-x+1)}{t}^{t-x}|}_{t=x}\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x-x+1)}{x}^{x-x}\\ & =& \frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(1)}\\ & =& \mathrm{\Gamma }(x+1)\end{array}$$

わお！$\mathrm{\Gamma }(x+1)$になった。

補

調べてみると、$n!$の定義として、
$$n!:=\frac{d^n}{d{x}^n}{x}^n$$
というものもあるらしい。
上の追加検証の結果はこれにも一致する。

嬉

嬉
嬉
終