近傍系と開核作用素の関係

1. 位相空間$X$により定まる$\mathcal{U}$が近傍系であることを示す。
$x\in X$を任意にとり固定する。
• $U,V\in\mathcal{U}(x)$に対して$x\in G\subseteq U$かつ$x\in H\subseteq V$を満たすような$X$の開集合$G,H$が存在する。ここで、$G\cap H$もまた$X$の開集合であるため$x\in G\cap H\subseteq U\cap V$より$U\cap V\in\mathcal{U}(x)$である.
  $V\in\mathcal{U}(x)$とし$X$の部分集合$U$を$V\subseteq U$を満たすとして任意にとると、$x\in G\subseteq V$なる$X$の開集合$G$がとれるため$x\in G\subseteq U$より$U\in\mathcal{U}(x)$となる。
  これらより、$\mathcal{U}(x)$はフィルターである。
• $\mathcal{U}$の定め方より明らかに各$U\in\mathcal{U}(x)$に対して$x\in U$である。
• $U\in\mathcal{U}(x)$を任意にとり固定する。このとき、$x\in G\subseteq U$となる$X$の開集合$G$がとれるため、$G\in\mathcal{U}(x)$であり、$y\in G$に対して$y\in G\subseteq U$より$U\in\mathcal{U}(y)$となる。
これらより、$\mathcal{U}$は$X$の台集合上の近傍系である。
2. 集合$S$上の近傍系$\mathcal{U}$により定まる空間$X$が位相空間であることを示す。
• $x\in X$に対して$\mathcal{U}(x)$は空でないフィルターであるため$X\in\mathcal{U}(x)$となる。よって$X$は開集合である。
  $\emptyset$が開集合でないとすると、$\emptyset\notin\mathcal{U}(x)$となる$x\in\emptyset$が存在してしまうため矛盾。よって$\emptyset$は開集合である。
• $\mathcal{G}$を$X$の開集合からなる有限集合とする。$\bigcap\mathcal{G}=\emptyset$または$\mathcal{G}=\emptyset$ならば先の結果から$\bigcap\mathcal{G}$は$\emptyset$または$X$となるため開集合である。他方、$\bigcap\mathcal{G}\neq\emptyset$かつ$\mathcal{G}\neq\emptyset$ならば、$x\in\bigcap\mathcal{G}$を任意にとり固定したとき、各$G\in\mathcal{G}$に対して$G\in\mathcal{U}(x)$となるため、$\bigcap\mathcal{G}\in\mathcal{U}(x)$となる。よって、$\bigcap\mathcal{G}$は$X$の開集合となる。
• $\mathcal{H}$を$X$の開集合からなる(有限とは限らない)集合とする。$\mathcal{H}=\emptyset$ならば先の結果から$\bigcup\mathcal{H}=\emptyset$となるため開集合である。他方、$\mathcal{H}\neq\emptyset$ならば、$x\in\bigcup\mathcal{H}$に対して$x\in H$となる$H\in\mathcal{H}$が存在して$H\in\mathcal{U}(x)$となるため、$H\subseteq\bigcup\mathcal{H}$より$\bigcup\mathcal{H}\in\mathcal{U}(x)$となる。よって、$\bigcup\mathcal{H}$は$X$の開集合となる。
これらより、$X$は位相空間となる。
3. この2つの対応が互いに逆の関係になっていることを示すが、ほとんど明らかなため省略する。

1. 位相空間$X$により定まる$I$が開核作用素であることを示す。
$A,B\subseteq X$を任意にとり固定する。
• $x\in I(A)$に対して$x\in G\subseteq A$となる$X$の開集合$G$が取れるため$x\in A$。よって$I(A)\subseteq A$。特に$A$が開集合であるとき$x\in A$に対して$x\in I(A)$となるため$I(A)=A$となる。
• $A\subseteq B$を満たすと仮定する。このとき、$x\in I(A)$に対して$x\in G\subseteq A$となる$X$の開集合$G$が取れるため$x\in G\subseteq B$より$x\in I(B)$となる。よって、$I(A)\subseteq I(B)$となる。
• $I(A)\subseteq A$と先に示したことから$I(I(A))\subseteq I(A)$となる。また、$x\in I(A)$に対して$x\in G\subseteq A$となる$X$の開集合$G$が取れるため$x\in G=I(G)\subseteq I(A)$より$x\in I(I(A))$となる。よって、$I(I(A))=I(A)$となる。
• 先に示したことから$A\cap B\subseteq A,B$より$I(A\cap B)\subseteq I(A)\cap I(B)$であり、$x\in I(A)\cap I(B)$に対して$x\in G\subseteq A$かつ$x\in H\subseteq B$を満たすような$X$の開集合$G,H$が取れて$G\cap H$もまた$X$の開集合なため$x\in G\cap H\subseteq A\cap B$より$x\in I(A\cap B)$。これらより、$I(A\cap B)=I(A)\cap I(B)$となる。
これらより、$I$は$X$の台集合上の開核作用素である。
2. 集合$S$上の開核作用素$I$により定まる空間$X$が位相空間であることを示す。
• $I(X)=X$かつ$I(\emptyset)\subseteq\emptyset$より$X,\emptyset$は$X$の開集合である。
• $\mathcal{G}$を$X$の開集合からなる有限集合とする。$\bigcap\mathcal{G}=\emptyset$または$\mathcal{G}=\emptyset$ならば先の結果から$\bigcap\mathcal{G}$は$\emptyset$または$X$となるため開集合である。他方、$\bigcap\mathcal{G}\neq\emptyset$かつ$\mathcal{G}\neq\emptyset$ならば、各$G\in\mathcal{G}$に対して$I(G)=G$なため、$\bigcap_{G\in\mathcal{G}}I(G)=\bigcap\mathcal{G}$となる。よって、$\bigcap\mathcal{G}$は$X$の開集合となる。
• $\mathcal{H}$を$X$の開集合からなる(有限とは限らない)集合とする。$\mathcal{H}=\emptyset$ならば先の結果から$\bigcup\mathcal{H}=\emptyset$となるため開集合である。他方、$\mathcal{H}\neq\emptyset$ならば、$x\in\bigcup\mathcal{H}$に対して$x\in H$となる$H\in\mathcal{H}$が存在するため$x\in H\subseteq\bigcup\mathcal{H}$より$x\in I(\bigcup\mathcal{H})$となる。よって、$\bigcup\mathcal{H}$は$X$の開集合となる。
これらより、$X$は位相空間となる。
3. この2つの対応が互いに逆の関係になっていることを示すが、ほとんど明らかなため省略する。

\begin{align*}q(f,g)\circ\varphi_{A,B}(u)(x)(t)&=\,g^{-1}\circ(\varphi_{A,B}(u)\circ f)(x)(g\circ t\circ f^{-1})\\&=\,g^{-1}\circ\varphi_{A,B}(u)(f(x))(g\circ t\circ f^{-1})\\&=\,g^{-1}\circ u(g\circ t\circ f^{-1})(f(x))\\&=\,p(f,g)(u)(t)(x)\\&=\,\varphi_{X,Y}\circ p(f,g)(u)(x)(t)\end{align*}より、$q(f,g)\circ\varphi_{A,B}=\varphi_{X,Y}\circ p(f,g)$なため図式は可換となる。