大学数学基礎議論

近傍系と開核作用素の関係

トポロジー

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はじめに

この記事では、近傍系と開核作用素の間にある対応について軽くメモ書き。

定義

$X$ を集合とし、 $2^{X}$ を $X$ の冪集合とする。

近傍系の定義は次のとおりである。

近傍系

写像 $U : X \to 2^{2^{X}}$ が $X$ 上の近傍系であるとは、各点 $x \in X$ に対して次の条件をそれぞれ満たすときいう。

$U (x)$ は $X$ 上の空でないフィルターである。すなわち、
- 任意の $U, V \in U (x)$ に対して $U \cap V \in U (x)$
- 任意の $V \in U (x)$ と $U \subseteq X$ に対して、 $V \subseteq U$ を満たすならば $U \in U (x)$ である。
各 $U \in U (x)$ に対して $x \in U$
任意の $U \in U (x)$ に対して次を満たすような $V \in U (x)$ が存在する:
- 任意の $y \in V$ に対して $U \in U (y)$ となる。

$x \in X$ に対して $U (x)$ の各元を点 $x$ の近傍という。

他方、開核作用素の定義は次のとおりである。

開核作用素

写像 $I : 2^{X} \to 2^{X}$ が $X$ 上の開核作用素であるとは、各 $A, B \in 2^{x}$ に対して次の条件をそれぞれ満たすときいう。

$I (A) \subseteq A$ かつ $I (X) = X$ 。
$I (I (A)) = I (A)$ 。
$I (A \cap B) = I (A) \cap I (B)$ 。

$A \subseteq X$ に対して $I (A)$ を $A$ の内部という。

近傍系と開核作用素の間の対応

位相空間 $X$ において、写像 $U : X \to 2^{2^{X}}$ , $I : 2^{X} \to 2^{X}$ を

各 $x \in X$ に対して $U (x) := {S \in 2^{X} ∣ x \in G \subseteq S$ を満たすような $X$ の開集合 $G$ が存在する $}$
各 $S \in 2^{X}$ に対して $I (S) := {x \in X ∣ x \in G \subseteq S$ を満たすような $X$ の開集合 $G$ が存在する $}$

とすることで、 $U, I$ はそれぞれ $X$ の台集合上の近傍系、開核作用素となる。このとき、 $U, I$ をそれぞれ $X$ 上の近傍系、開核作用素という。
他方、集合 $X$ に対して定まる $X$ 上の近傍系 $U$ 、開核作用素 $I$ に対して

$G$ が $(X, U)$ において開集合であることを、各 $x \in G$ に対して $G \in U (x)$ が成り立つときとする。
$G$ が $(X, I)$ において開集合であることを、 $I (G) = G$ が成り立つときとする。

として2つの位相空間 $(X, U)$ , $(X, I)$ が定まる。このとき、先程と同様にして $(X, U)$ 上の近傍系を $V$ , $(X, I)$ 上の開核作用素を $J$ とすると $U = V$ かつ $I = J$ が成り立つ。

今得られた結果を次にまとめておく。

位相空間とその近傍系

位相空間 $X$ と $X$ の台集合上の近傍系 $U$ の間の対応 $X \mapsto U$ を次のように定める。
各 $x \in X$ に対して $U (x) := {S \in 2^{X} ∣ x \in G \subseteq S$ を満たすような $X$ の開集合 $G$ が存在する $}$ として定める。
集合 $S$ 上の近傍系 $U$ と $S$ を台集合に持つ位相空間 $X$ の間の対応 $U \mapsto X$ を次のように定める。
$S$ の部分集合 $G$ が $X$ の開集合であることを、各 $x \in G$ に対して $G \in U (x)$ が成り立つときとする。

このとき、この2つの対応は互いに逆の関係にある。

証明本文

位相空間 $X$ により定まる $U$ が近傍系であることを示す。

x \in X

を任意にとり固定する。

$U, V \in U (x)$ に対して $x \in G \subseteq U$ かつ $x \in H \subseteq V$ を満たすような $X$ の開集合 $G, H$ が存在する。ここで、 $G \cap H$ もまた $X$ の開集合であるため $x \in G \cap H \subseteq U \cap V$ より $U \cap V \in U (x)$ である.
$V \in U (x)$ とし $X$ の部分集合 $U$ を $V \subseteq U$ を満たすとして任意にとると、 $x \in G \subseteq V$ なる $X$ の開集合 $G$ がとれるため $x \in G \subseteq U$ より $U \in U (x)$ となる。
これらより、 $U (x)$ はフィルターである。
$U$ の定め方より明らかに各 $U \in U (x)$ に対して $x \in U$ である。
$U \in U (x)$ を任意にとり固定する。このとき、 $x \in G \subseteq U$ となる $X$ の開集合 $G$ がとれるため、 $G \in U (x)$ であり、 $y \in G$ に対して $y \in G \subseteq U$ より $U \in U (y)$ となる。

これらより、

U

は

X

の台集合上の近傍系である。

集合 $S$ 上の近傍系 $U$ により定まる空間 $X$ が位相空間であることを示す。

$x \in X$ に対して $U (x)$ は空でないフィルターであるため $X \in U (x)$ となる。よって $X$ は開集合である。
$\emptyset$ が開集合でないとすると、 $\emptyset \notin U (x)$ となる $x \in \emptyset$ が存在してしまうため矛盾。よって $\emptyset$ は開集合である。
$G$ を $X$ の開集合からなる有限集合とする。 $⋂ G = \emptyset$ または $G = \emptyset$ ならば先の結果から $⋂ G$ は $\emptyset$ または $X$ となるため開集合である。他方、 $⋂ G \neq \emptyset$ かつ $G \neq \emptyset$ ならば、 $x \in ⋂ G$ を任意にとり固定したとき、各 $G \in G$ に対して $G \in U (x)$ となるため、 $⋂ G \in U (x)$ となる。よって、 $⋂ G$ は $X$ の開集合となる。
$H$ を $X$ の開集合からなる(有限とは限らない)集合とする。 $H = \emptyset$ ならば先の結果から $⋃ H = \emptyset$ となるため開集合である。他方、 $H \neq \emptyset$ ならば、 $x \in ⋃ H$ に対して $x \in H$ となる $H \in H$ が存在して $H \in U (x)$ となるため、 $H \subseteq ⋃ H$ より $⋃ H \in U (x)$ となる。よって、 $⋃ H$ は $X$ の開集合となる。

これらより、

X

は位相空間となる。

この2つの対応が互いに逆の関係になっていることを示すが、ほとんど明らかなため省略する。

位相空間とその開核作用素

位相空間 $X$ と $X$ の台集合上の開核作用素 $I$ の間の対応 $X \mapsto I$ を次のように定める。
$S \subseteq X$ に対して、 $x \in G \subseteq S$ なる $X$ の開集合 $G$ が存在するような $x \in X$ 全体を $I (S)$ として定める。
集合 $S$ 上の開核作用素 $I$ と $S$ を台集合に持つ位相空間 $X$ の間の対応 $I \mapsto X$ を次のように定める。
$S$ の部分集合 $G$ が $X$ の開集合であることを、 $I (G) = G$ が成り立つときとする。

このとき、この2つの対応は互いに逆の関係にある。

証明本文

位相空間 $X$ により定まる $I$ が開核作用素であることを示す。

A, B \subseteq X

を任意にとり固定する。

$x \in I (A)$ に対して $x \in G \subseteq A$ となる $X$ の開集合 $G$ が取れるため $x \in A$ 。よって $I (A) \subseteq A$ 。特に $A$ が開集合であるとき $x \in A$ に対して $x \in I (A)$ となるため $I (A) = A$ となる。
$A \subseteq B$ を満たすと仮定する。このとき、 $x \in I (A)$ に対して $x \in G \subseteq A$ となる $X$ の開集合 $G$ が取れるため $x \in G \subseteq B$ より $x \in I (B)$ となる。よって、 $I (A) \subseteq I (B)$ となる。
$I (A) \subseteq A$ と先に示したことから $I (I (A)) \subseteq I (A)$ となる。また、 $x \in I (A)$ に対して $x \in G \subseteq A$ となる $X$ の開集合 $G$ が取れるため $x \in G = I (G) \subseteq I (A)$ より $x \in I (I (A))$ となる。よって、 $I (I (A)) = I (A)$ となる。
先に示したことから $A \cap B \subseteq A, B$ より $I (A \cap B) \subseteq I (A) \cap I (B)$ であり、 $x \in I (A) \cap I (B)$ に対して $x \in G \subseteq A$ かつ $x \in H \subseteq B$ を満たすような $X$ の開集合 $G, H$ が取れて $G \cap H$ もまた $X$ の開集合なため $x \in G \cap H \subseteq A \cap B$ より $x \in I (A \cap B)$ 。これらより、 $I (A \cap B) = I (A) \cap I (B)$ となる。

これらより、

I

は

X

の台集合上の開核作用素である。

集合 $S$ 上の開核作用素 $I$ により定まる空間 $X$ が位相空間であることを示す。

$I (X) = X$ かつ $I (\emptyset) \subseteq \emptyset$ より $X, \emptyset$ は $X$ の開集合である。
$G$ を $X$ の開集合からなる有限集合とする。 $⋂ G = \emptyset$ または $G = \emptyset$ ならば先の結果から $⋂ G$ は $\emptyset$ または $X$ となるため開集合である。他方、 $⋂ G \neq \emptyset$ かつ $G \neq \emptyset$ ならば、各 $G \in G$ に対して $I (G) = G$ なため、 $⋂_{G \in G} I (G) = ⋂ G$ となる。よって、 $⋂ G$ は $X$ の開集合となる。
$H$ を $X$ の開集合からなる(有限とは限らない)集合とする。 $H = \emptyset$ ならば先の結果から $⋃ H = \emptyset$ となるため開集合である。他方、 $H \neq \emptyset$ ならば、 $x \in ⋃ H$ に対して $x \in H$ となる $H \in H$ が存在するため $x \in H \subseteq ⋃ H$ より $x \in I (⋃ H)$ となる。よって、 $⋃ H$ は $X$ の開集合となる。

これらより、

X

は位相空間となる。

この2つの対応が互いに逆の関係になっていることを示すが、ほとんど明らかなため省略する。

これらによって得られる、位相空間とその台集合上の近傍系の間、位相空間とその台集合上の開核作用素の間にある1対1な対応により、集合 $X$ を固定するごとに $X$ 上の近傍系と $X$ 上の開核作用素の間にある1対1な対応が導かれるが、この対応は次に定める写像 $φ_{X, 2}$ の部分写像となっている。

集合 $X, Y$ に対して写像 $φ_{X, Y} : (Y^{X})^{Y^{X}} \to (Y^{Y^{X}})^{X}$ を次のように定める。

φ_{X, Y} (t) (x) (p) = t (p) (x), x \in X, p \in Y^{X}, t \in (Y^{X})^{Y^{X}}

各 $φ_{X, Y} : (Y^{X})^{Y^{X}} \to (Y^{Y^{X}})^{X}$ は全単射な写像となっており、全単射な写像 $f : X \to A, g : Y \to B$ に対して次の図式が可換となる。

(B^{A})^{B^{A}} φ_{A, B} p (f, g) (B^{B^{A}})^{A} q (f, g) (Y^{X})^{Y^{X}} φ_{X, Y} (Y^{Y^{X}})^{X}

ただし、

u \in (B^{A})^{B^{A}}, v \in (B^{B^{A}})^{A}, t \in Y^{X}, x \in X

に対して

\begin{aligned} p (f, g) (u) (t) (x) & = (g^{- 1} \circ u (g \circ t \circ f^{- 1}) \circ f) (x) \\ q (f, g) (v) (x) (t) & = g^{- 1} \circ (v \circ f) (x) (g \circ t \circ f^{- 1}) \end{aligned}

として定まる。

証明本文

u \in (B^{A})^{B^{A}}, t \in Y^{X}, x \in X

に対して、

$\begin{aligned} q (f, g) \circ φ_{A, B} (u) (x) (t) & = g^{- 1} \circ (φ_{A, B} (u) \circ f) (x) (g \circ t \circ f^{- 1}) \\ = g^{- 1} \circ φ_{A, B} (u) (f (x)) (g \circ t \circ f^{- 1}) \\ = g^{- 1} \circ u (g \circ t \circ f^{- 1}) (f (x)) \\ = p (f, g) (u) (t) (x) \\ = φ_{X, Y} \circ p (f, g) (u) (x) (t) \end{aligned}$ より、 $q (f, g) \circ φ_{A, B} = φ_{X, Y} \circ p (f, g)$ なため図式は可換となる。