有限体上の既約多項式の個数1

(1)$⟹$(2) 仮定より,ある$g(x)\in \bar{K}[x]$が存在して$f(x)=(x-\alpha {)}^{2}g(x)$となる.このとき$f^{\prime }(x)=2(x-\alpha )g(x)+(x-\alpha {)}^2{g}^{\prime }(x)$なので$f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=0$.

(2)$⟹$(1) 重根をもたないとすると,ある$a,b\in \bar{K}$とある$g(x)\in \bar{K}[x]$が存在して$f(x)=(x-\alpha {)}^{2}g(x)+ax+b$をみたす.ただし$a\ne 0$または$b\ne 0$.ここで計算により,$f(\alpha )=a\alpha +b$,$f^{\prime }(\alpha )=a$である.$f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=0$とすると$a=0$かつ$b=0$となり矛盾する.$◻$

(1)$⟹$(2) $f(x)$が$K[x]$の元であることは明らか.互いに素である仮定から,ある$a(x),b(x)\in K[x]$が存在して$a(x)f(x)+b(x)f^{\prime }(x)=1$をみたす.$\alpha \in \bar{K}$が重根なら$\alpha$を代入して命題1から$0=1$となるので矛盾である.

(2)$⟹$(1) 互いに素でなければ,$f(x)$,$f^{\prime }(x)$を共に割り切る$g(x)\in K[x]$が存在し,$g(\alpha )=0$なる$\alpha \in \bar{K}$に対し$f(\alpha )=f^{\prime }(\alpha )=0$.$◻$

標数$0$なら$\mathbb{Q}$を含み$|K|=\mathrm{\infty }$.よって$K$の標数はある素数$p$に等しい.このとき$K$は${\mathbb{F}}_p$上のベクトル空間をなすから,その次元を$n$とするとき$|K|=p^n$.$◻$

乗法群$K^{\times }$は位数$q-1$の群なので,$K^{\times }$の元の位数は$q-1$の約数である.よって$a\in K^{\times }$とすると$a^{q-1}=1$,すなわち$a^q=a$.$0^q=0$であることは明らか.

$F$を$K$の別の代数閉包とすると,定理(cf.青雪江など)により$K$同型$\varphi :\bar{K}\to F$が存在する.$f(x)=a(x-{\alpha }_1)\cdots (x-{\alpha }_n)$,($a\in K^{\times },{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in \bar{K}$)なら
$f(x)=a(x-\varphi ({\alpha }_1))\cdots (x-\varphi ({\alpha }_n))$.よって$F$で構成した最小分解体は$K(\varphi ({\alpha }_1),\dots ,\varphi ({\alpha }_n))$なので$\varphi$は$K$同型$K({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\to K(\varphi ({\alpha }_1),\dots ,\varphi ({\alpha }_n))$を誘導する.$◻$

1. $f(x)=x^q-x$とおき,$f(x)$の${\mathbb{F}}_p$上の最小分解体を$L$とする.微分$f^{\prime }(x)=-1$は単元なので命題1系により$f(x)=0$は重根をもたない.よって$M=\{\alpha |f(\alpha )=0\}$とおくと$|M|=q$.さらに$M$が体であることを示す.
   $\alpha ,\beta \in M$なら${\alpha }^p=\alpha$,${\beta }^p=\beta$なので標数が$p$であることに注意すると$(\alpha \pm \beta {)}^p={\alpha }^p\pm {\beta }^p=\alpha \pm \beta$(複合同順)。また,$(\alpha \beta {)}^p={\alpha }^p{\beta }^p=\alpha \beta$なので$\alpha \beta \in M$.また${\mathbb{F}}_p$ は$M$に含まれる.実際,命題3から$a\in {\mathbb{F}}_p$に対し$a^p=a$なので$a^{p^n}=(a^p{)}^{p^{n-1}}=a^{p^{n-1}}=\cdots =a$.従って$M$は$L$の${\mathbb{F}}_p$を含む部分環である.$a\in M\mathrm{\setminus }\{0\}$なら命題3から$a^{-1}=a^{q-2}\in M$なので逆元も含まれ,$M$は体である.$M$は$f(x)$の根をすべて含む体なので$M=L$.よって位数$q$の体が存在する.$f(x)$の最小分解体は同型を除いて一意なので位数$q$の体は同型を除いて一意.
   最後に${\mathbb{F}}_q\subseteq F$なら${\mathbb{F}}_q=\{a\in F|a^q=a\}$であることは$M$の定義と${\mathbb{F}}_q$の一意性からわかる.

2. ${\mathbb{F}}_{p^n}\subseteq {\mathbb{F}}_{p^m}$なら${\mathbb{F}}_{p^m}$は${\mathbb{F}}_{p^n}$上の有限次元ベクトル空間なので,その次元を$l$とすると$p^m=(p^n{)}^l=p^{nl}$.よって$n|m$.
   逆に$m=nl$($l\in \mathbb{Z}$)とする.
   ${\displaystyle \frac{p^m-1}{p^n-1}}=p^{n(l-1)}+p^{n(l-2)}+\cdots +1\in \mathbb{Z}$.$a\in {\mathbb{F}}_{p^n}$なら$a^{p^n-1}=1$.よって$a^{p^m-1}=1$.従って$a^{p^m}=a$.以上から${\mathbb{F}}_{p^n}\subseteq {\mathbb{F}}_{p^m}$.$◻$