量子情報理論におけるKraus演算子

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共立出版『量子情報科学入門』定理4.6.1の証明を、ヒルベルト空間が $H_{A} = C^{n}, H_{B} = C^{k}$ の場合に書き直します。この記事の目的は、量子情報理論で初歩的な要請として、密度演算子のユニタリ発展が、量子情報的に満たすべきトレース保存性などの一般的性質を備えていることを保証する「Kraus表現」となっていることを言うことです。
$L (H_{A})$ は $M_{n}$ という $n$ 次正方行列全体となります。以下、ヒルベルト空間のテンソル積と演算法則を既知とします。テンソル積の構成の一意性といったことは以前の拙著記事で導入済みです。 $B (H) \otimes M_{n}$ は各要素が $B (H)$ の元である $n \times n$ 行列全体の空間と同一視するというだけです。

線形写像 $Λ : M_{n} \to M_{k}$ が完全正写像（CP)であるとは、
$Λ \otimes i d_{n} : M_{n} \otimes M_{n} ∋ ([X_{i j}]_{i, j = 1}^{n}) \mapsto [Λ (X_{i j})]_{i, j = 1}^{n} \in M_{k} \otimes M_{n}$
が正なことを指します。ただし各 $i, j$ に対し $X_{i j} \in M_{n}$ です。

$Λ : M_{n} \to M_{k}$ を線形写像とするとき、次の各条件は同値である。
$（ 1 ） Λ は完全正$
$（ 2 ） X_{i j} := Λ (E (i j)) (1 \leq i, j \leq n) をブロック行列として定まる X は正である。ただし E (i j) \in M_{n} は行列単位である。$
$（ 3 ） k^{2} 個の線形演算子 V_{t} : C^{n} \to C^{k} (1 \leq t \leq k^{2}) が存在し、 Λ (A) = \sum_{t} V_{t} A V_{t}^{*} を満たす$
$（ 4) A_{i} \in M_{n} (C), B_{i} \in M_{k} (C) (1 \leq i \leq n) に対して \sum_{i, j} B_{i}^{*} Λ (A_{i}^{*} A_{j}) B_{j} \geq 0$ が成り立つ。