量子情報理論におけるKraus演算子
共立出版『 量子情報科学入門』定理4.6.1の証明を、ヒルベルト空間が$H_A=\mathbb{C}^n,H_B=\mathbb{C}^k$の場合に書き直します。この記事の目的は、量子情報理論で初歩的な要請として、密度演算子のユニタリ発展が、量子情報的に満たすべきトレース保存性などの一般的性質を備えていることを保証する「Kraus表現」となっていることを言うことです。
$\mathcal{L}(H_A)$は$\mathbb{M}_n$という$n$次正方行列全体となります。以下、ヒルベルト空間のテンソル積と演算法則を既知とします。テンソル積の構成の一意性といったことは以前の拙著記事で導入済みです。$B(H)\otimes \mathbb{M}_n$は各要素が$B(H)$の元である$n\times n$行列全体の空間と同一視するというだけです。
線形写像$\Lambda:\mathbb{M}_n\to\mathbb{M}_k$が完全正写像（CP)であるとは、
$$
\Lambda\otimes id_n:\mathbb{M}_n\otimes\mathbb{M}_n\ni([X_{ij}]^n_{i,j=1})\mapsto [\Lambda(X_{ij})]^n_{i,j=1}\in\mathbb{M}_k\otimes\mathbb{M}_n$$
が正なことを指します。ただし各$i,j$に対し$X_{ij}\in\mathbb{M}_n$です。
$\Lambda:\mathbb{M}_n\to\mathbb{M}_k$を線形写像とするとき、次の各条件は同値である。
$（1）\Lambda は完全正
$
$（2）X_{ij}:=\Lambda(E(ij))\ (1\le i,j\le n)をブロック行列として定まるXは正である。ただしE(ij)\in \mathbb{M}_nは行列単位である。\\
$
$ （3）k^2個の線形演算子V_t:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^k\ (1\le t\le k^2)が存在し、\Lambda(A)=\sum_tV_tAV^*_tを満たす\\
$
$（4)A_i\in\mathbb{M}_n(\mathbb{C}),B_i\in\mathbb{M}_k(\mathbb{C})\ (1\le i\le n)に対して\sum_{i,j}B^*_i\Lambda(A^*_iA_j)B_j\ge 0$が成り立つ。
証明は、Introduction to Matrix Analysis and Applicationsをご参照ください。すみません。
