交互社交数について

社交数（Sociable Numbers）とは、約数和関数を繰り返し適用したとき、複数の数が巡回する数の集まりです。
例えば、ある写像 (f) に対して
[ a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow \cdots \rightarrow a_k \rightarrow a_1 ]
という周期的な関係が成り立つとき、その数列を社交数のサイクルと呼びます。
今回は、約数和に偶奇による符号を加えた交互約数和を考えます。
交互約数和を
[ T(n)=\sum_{\substack{d\mid n\d<n}}(-1)^d d ]
と定義します。
ここで、
偶数の約数 (d) は正に加算
奇数の約数 (d) は負に加算
します。
この写像 (T) を繰り返し適用し、
[ a_1\rightarrow a_2\rightarrow\cdots\rightarrow a_k\rightarrow a_1 ]
となる周期 (k\ge3) の巡回を作る数を交互社交数（Alternating Sociable Numbers）と定義します。
探索の結果、現在確認できている最初の例として、
[ 1862172 \rightarrow 1937988 \rightarrow 1960452 \rightarrow 1970748 \rightarrow 1862172 ]
という周期4のサイクルが見つかっています。
つまり、
[ T(1862172)=1937988 ]
[ T(1937988)=1960452 ]
[ T(1960452)=1970748 ]
[ T(1970748)=1862172 ]
が成立します。
通常の社交数が約数和関数
[ s(n)=\sum_{\substack{d\mid n\d<n}}d ]
によって定義されるのに対し、交互社交数は約数の偶奇を利用した符号付き約数和による拡張です。
この考え方は、完全数・友愛数・社交数という古典的な数論的概念に、新しい「交互」という視点を加えるものです。