東大数理院試過去問解答例(2003B01)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2003B01の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2003B01

$7$ 次対称群 $S_{7}$ について、以下の問いに答えなさい。
(1) $S_{7}$ の位数 $2$ の元の個数を計算しなさい。
(2) $S_{7}$ の自己同型による互換の像は互換であることを示しなさい。
(3) 群準同型
$\begin{aligned} ı : S_{7} & \to Aut (S_{7}) \\ σ & \mapsto (τ \mapsto σ τ σ^{- 1}) \end{aligned}$
は群同型であることを示しなさい。

このような元は相異なる $a, b, c, d, e, f$ を用いて
$(a, b) (c, d) (e, f)$
$(a, b) (c, d)$
$(a, b)$
で表せるもので尽くされる。よってその個数は
$_{7} C_{2} + \frac{_{7} C_{2}_{5} C_{2}}{2} + \frac{_{7} C_{2}_{5} C_{2}_{3} C_{2}}{6} = 21 + 105 + 105 = 231$
である。
集合
$C_{1} = {(a, b) | a \neq b}$
$C_{2} = {(a, b) (c, d) | (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b)}$
$C_{3} = {(a, b) (c, d) (e, f) | (a, b) (c, d) = (c, d) (a, b), (a, b) (e, f) = (e, f) (a, b), (c, d) (e, f) = (e, f) (c, d)}$
は全て共役類を為している。互換 $(a, b)$ の同型 $f : S_{7} \to S_{7}$ による像 $f (a, b)$ は $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ のいずれかに含まれるが、 $| C_{1} | = 21$ である一方 $| C_{2} | = | C_{3} | = 105$ であったから $f (a, b) \in C_{1}$ 、つまり $f (a, b)$ が互換であることが従う。
$2$ つの互換 $(a, b), (a, c)$ を取ったとき、
$(a, c) = (b, c) (a, b) (b, c)$
であることから、
$f (a, c) = f (b, c) f (a, b) f (b, c)$
である。二つの互換がある互換によって共役であるとき、それらは等しいか共通の元を移動させるから、これによって写像 $σ_{F} : {1, \dots, 7} \to {1, \dots, 7}$ を
$σ_{F} (a) = (任意の x に対して、 F (a, x) に固定されない元)$
とおく。このとき
$F (a, b) = σ_{F} (a, b) σ_{F}^{- 1}$
と表されるから、 $Aut (S_{7})$ の元は全て内部自己同型である。これによって $ı$ の全射性が示せた。一方 $S_{7}$ の中心は自明であることから $ı$ は単射である。以上から $ı$ は群同型を定めている。

投稿日：2024年9月22日

更新日：2024年9月22日

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