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Watsonの五重積のHirschhornによる一般化

Jacobiの三重積を用いて整理すれば, Watsonの五重積は
$\begin{aligned} (- a, - q / a, q; q)_{\infty} (a^{2} q, q / a^{2}; q^{2})_{\infty} \\ = a (a^{3} q^{2}, q / a^{3}, q^{3}; q^{3})_{\infty} + (a^{3} q, q^{2} / a^{3}, q^{3}; q^{3})_{\infty} \end{aligned}$
と表される. Hirschhornによって以下のような一般化が得られている.

Hirschhorn(1988)

$\begin{aligned} (- a q, - q / a, q^{2}; q^{2})_{\infty} (- b q^{2}, - q^{2} / b, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = (- a q^{3} / b, - b q^{3} / a, q^{6}; q^{6})_{\infty} (- a^{2} b q^{6}, - q^{6} / a^{2} b, q^{12}; q^{12})_{\infty} \\ + a q (- a q^{5} / b, - b q / a, q^{6}; q^{6})_{\infty} (- a^{2} b q^{10}, - q^{2} / a^{2} b, q^{12}; q^{12})_{\infty} \\ + a^{- 1} q (- a q / b, - b q^{5} / a, q^{6}; q^{6})_{\infty} (- a^{2} b q^{2}, - q^{10} / a^{2} b, q^{12}; q^{12})_{\infty} \end{aligned}$

まず, これがWatsonの五重積の一般化になっていることを示す. $a \mapsto a / q, b \mapsto - a^{- 2}$ とすると,
$\begin{aligned} (- a, - q^{2} / a, q^{2}; q^{2})_{\infty} (a^{2} q^{2}, q^{2} / a^{2}, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = (a^{3} q^{2}, q^{4} / a^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} (q^{4}, q^{8}, q^{12}; q^{12})_{\infty} \\ + a (a^{3} q^{4}, q^{2} / a^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} (q^{8}, q^{4}, q^{12}; q^{12})_{\infty} \\ = (a^{3} q^{2}, q^{4} / a^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} (q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ + a (a^{3} q^{4}, q^{2} / a^{3}, q^{6}; q^{6})_{\infty} (q^{4}; q^{4})_{\infty} \end{aligned}$
を得る. 両辺を $(q^{4}; q^{4})_{\infty}$ で割って $q^{2} \to q$ とすればWatsonの五重積を得る.

定理1の証明

Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} (- a q, - q / a, q^{2}; q^{2})_{\infty} (- b q^{2}, - q^{2} / b, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = \sum_{r, s \in Z} a^{r} b^{s} q^{r^{2} + 2 s^{2}} \\ = \sum_{l \in Z} \sum_{r + s = l} a^{r} b^{s} q^{r^{2} + 2 s^{2}} \end{aligned}$
$l = 3 m$ のとき, $r = 2 m + n, s = m - n$ .
$l = 3 m + 1$ のとき, $r = 2 m + n + 1, s = m - n$ .
$l = 3 m - 1$ のとき, $r = 2 m + n - 1, s = m - n$ と置き換えれば,
$\begin{aligned} (- a q, - q / a, q^{2}; q^{2})_{\infty} (- b q^{2}, - q^{2} / b, q^{4}; q^{4})_{\infty} \\ = \sum_{m, n \in Z} a^{2 m + n} b^{m - n} q^{(2 m + n)^{2} + 2 (m - n)^{2}} \\ + \sum_{m, n \in Z} a^{2 m + n + 1} b^{m - n} q^{(2 m + n + 1)^{2} + 2 (m - n)^{2}} \\ + \sum_{m, n \in Z} a^{2 m + n - 1} b^{m - n} q^{(2 m + n - 1)^{2} + 2 (m - n)^{2}} \\ = \sum_{m \in Z} (a^{2} b)^{m} q^{6 m^{2}} \sum_{n \in Z} (a / b)^{n} q^{3 n^{2}} \\ + a q \sum_{m \in Z} (a^{2} b q^{4})^{m} q^{6 m^{2}} \sum_{n \in Z} (a q^{2} / b)^{n} q^{3 n^{2}} + a^{- 1} q \sum_{m \in Z} (a^{2} b q^{- 4})^{m} q^{6 m^{2}} \sum_{n \in Z} (a / b q^{2})^{n} q^{3 n^{2}} \end{aligned}$
これらにJacobiの三重積を用いて定理を得る.