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レビ・チビタ記号を用いて行列式の積を簡単に導出しよう

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レビ・チビタ記号を用いて行列式の積を簡単に導出しよう

はじめに

積の行列式を行列式の積で表せるのは有名事実であるが,導出はかなり面倒である.
そこで,私が昔思いついた,レビ・チビタ記号を用いた解法を紹介する.
日本語はおろか,英語で検索してもヒットしないので,オリジナルだと思う.
(もし,noteで同じ内容の記事を見つけたならばそれは私の昔の記事で,少しおかしいところがあるため参考にしないほうが良い.)
また,本記事では一貫してアインシュタインの縮約を適用する.

3次元の場合

$n$次元の行列式はレビ・チビタ記号を用いて次のように表せる.

$n$次元の行列式

$A\in \mathbb C^{n\times n}$ のとき, $\det A=\varepsilon_{i_1\cdots i_n}a_{1i_1}\cdots a_{ni_n}$

まず,イメージを持ってもらうために,簡単な3次元の場合に限定して導出してみる.

3次元の積の行列式から行列式の積

$$ A,B\in\mathbb C^{3\times 3}とする. $$
$$\begin{align} \det(AB) &=\varepsilon_{ijk}(a_{1l}b_{li})(a_{2m}b_{mj})(a_{3n}b_{nk})\\ &=a_{1l}a_{2m}a_{3n}\varepsilon_{ijk}b_{li}b_{mj}b_{nk}\\ &=a_{1l}a_{2m}a_{3n}\varepsilon_{lmn}\det B\\ &=\det A\det B. \end{align}$$

とても簡単に導出できた.もちろん逆を辿っても成立する.
()に特に意味はないが,内積を主張するために付けておいた.

$n$次元の場合

本題である一般化を証明する.

$n$次元の積の行列式から行列式の積

$$ A,B\in\mathbb C^{n\times n}とする. $$
$$\begin{align} \det(AB) &=\varepsilon_{i_1\cdots i_n}(a_{1j_1}b_{j_1i_1})\cdots(a_{nj_n}b_{j_ni_n})\\ &=a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\varepsilon_{i_1\cdots i_n}b_{j_1i_1}\cdots b_{j_ni_n}\\ &=a_{1j_1}\cdots a_{nj_n}\varepsilon_{j_1\cdots j_n}\det B\\ &=\det A\det B. \end{align}$$

投稿日:2023731
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投稿者

東北大学工学研究科出身 できるだけ受け売りはせず,自分で思いついた解法や妄想を備忘録がてら書き綴っていこうと思います.

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