レビ・チビタ記号を用いて行列式の積を簡単に導出しよう

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レビ・チビタ記号を用いて行列式の積を簡単に導出しよう

はじめに

積の行列式を行列式の積で表せるのは有名事実であるが,導出はかなり面倒である.
そこで,私が昔思いついた,レビ・チビタ記号を用いた解法を紹介する.
日本語はおろか,英語で検索してもヒットしないので,オリジナルだと思う.
(もし,noteで同じ内容の記事を見つけたならばそれは私の昔の記事で,少しおかしいところがあるため参考にしないほうが良い.)
また,本記事では一貫してアインシュタインの縮約を適用する.

3次元の場合

$n$ 次元の行列式はレビ・チビタ記号を用いて次のように表せる.

n

次元の行列式

$A \in C^{n \times n}$ のとき, $\det A = ε_{i_{1} \dots i_{n}} a_{1 i_{1}} \dots a_{n i_{n}}$

まず,イメージを持ってもらうために,簡単な3次元の場合に限定して導出してみる.

3次元の積の行列式から行列式の積

$A, B \in C^{3 \times 3} とする .$
$\begin{aligned} \det (A B) & = ε_{i j k} (a_{1 l} b_{l i}) (a_{2 m} b_{m j}) (a_{3 n} b_{n k}) \\ = a_{1 l} a_{2 m} a_{3 n} ε_{i j k} b_{l i} b_{m j} b_{n k} \\ = a_{1 l} a_{2 m} a_{3 n} ε_{l m n} \det B \\ = \det A \det B . \end{aligned}$

とても簡単に導出できた.もちろん逆を辿っても成立する.
()に特に意味はないが,内積を主張するために付けておいた.

$n$ 次元の場合

本題である一般化を証明する.

n

次元の積の行列式から行列式の積

$A, B \in C^{n \times n} とする .$
$\begin{aligned} \det (A B) & = ε_{i_{1} \dots i_{n}} (a_{1 j_{1}} b_{j_{1} i_{1}}) \dots (a_{n j_{n}} b_{j_{n} i_{n}}) \\ = a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}} ε_{i_{1} \dots i_{n}} b_{j_{1} i_{1}} \dots b_{j_{n} i_{n}} \\ = a_{1 j_{1}} \dots a_{n j_{n}} ε_{j_{1} \dots j_{n}} \det B \\ = \det A \det B . \end{aligned}$