Lie代数の普遍包絡環とPBWの定理

PBWの定理,普遍包絡環,Lie代数

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0. はじめに

この記事では,

Lie代数$\mathfrak g$の普遍包絡環$U(\mathfrak g)$のフィルトレーション$\{U^n(\mathfrak g)\}_{n\in\mathbb Z}$に付随する次数付き代数$G(\mathfrak g)$の正体は, 対称代数$\tilde U(\mathfrak g)$であること(PBWの定理).
それから得られる系として, 普遍包絡環$U(\mathfrak g)$の基底が, $\mathfrak g$の順序付き基底$\{x_i\}_{i\in I}$を用いて$\{x_{i_1}\cdots x_{i_n}\mid n\in\mathbb Z_{\geqq 0},\ i_1\leqq\cdots\leqq i_n\}$と書けること.

を示す.

(また, この記事では選択公理を認めているので, ベクトル空間の基底はいつでも取ることができ, いつでも整列が可能であるとする.)

1. 基本的定義

Lie代数の普遍包絡環

Lie代数$\mathfrak g$に対して$T(\mathfrak g)$をテンソル代数とする. $\{x\otimes y-y\otimes x-[x,y]\in T(\mathfrak g)\mid x,y\in \mathfrak g\}$で生成される$T(\mathfrak g)$のイデアルを$J(\mathfrak g)$とするとき, $U(\mathfrak g):=T(\mathfrak g)/J(\mathfrak g)$を$\mathfrak g$の普遍包絡環という.

$T(\mathfrak g)$は自然に$\mathbb Z$次数付き代数となる(たとえば$x_1\otimes\cdots\otimes x_n$は次数$n$である). $T(\mathfrak g)$の次数$n$の部分空間を$T_n(\mathfrak g)$とかく. ここで$U(\mathfrak g)$は$\mathbb Z$次数付きの構造を持っていない. なぜなら$x\otimes y-y\otimes x$(次数$2$)と$[x,y]$(次数$1$)が同一視されるような代数となっているからである. しかし, 次数付きより少し弱いフィルトレーションの構造を持っている(フィルトレーションについてはFAを参照のこと).

$T^n(\mathfrak g)\subset T(\mathfrak g)$を
\begin{align} T^n(\mathfrak g):=\bigoplus_{m\leqq n}T_m(\mathfrak g) \end{align}
と定義する. このとき$U^n(\mathfrak g)\subset U(\mathfrak g)$を自然な写像の像, つまり
\begin{align} U^n(\mathfrak g):=\Im(T^n(\mathfrak g)\to U(\mathfrak g)) \end{align}
とすると, 列$\{U^n(\mathfrak g)\}_{n\in\mathbb Z}$は$U(\mathfrak g)$のフィルトレーションとなる. このとき$G_n(\mathfrak g)$と$G(\mathfrak g)$を
\begin{align} G_n(\mathfrak g)&:=U^n(\mathfrak g)/U^{n-1}(\mathfrak g),\\ G(\mathfrak g)&:=\bigoplus_{n\in\mathbb Z}G_n(\mathfrak g) \end{align}
とする. ここで, $G(\mathfrak g)$は$\mathfrak g$に付随する次数付き代数と呼ばれる.

さらに, $V$をベクトル空間として, $V$の対称代数を定義する.

$\tilde J(V)$を, $\{x\otimes y-y\otimes x\in T(V)\mid x,y\in V\}$で生成される$T(V)$のイデアルとしたとき, $\tilde U(V):=T(V)/\tilde J(V)$を$V$の対称代数という.

2. いくつかの性質

ベクトル空間として以下の同型が成り立つ.
\begin{align} G(\mathfrak g)\cong U(\mathfrak g). \end{align}

以下の短完全列は分裂する.
\begin{xy} \xymatrix{ 0\ar[r]&U^{n-1}(\mathfrak g)\ar[r]&U^n(\mathfrak g)\ar@<0.5ex>[r]^{p_n}&G_n(\mathfrak g)\ar[r]\ar@<0.5ex>@{.>}[l]^{\exists s_n}&0 } \end{xy}
この$\{s_n\}_{n\in\mathbb Z}$を用いて$\Phi:G(\mathfrak g)\to U(\mathfrak g)$を
\begin{align} \Phi\left(\sum_{i=0}^N x_i\right):=\sum_{i=0}^N s_i(x_i) \end{align}
で定義する. この線型写像の全単射性をみる.

全射性

任意の$y\in U(\mathfrak g)$に対してある非負整数$m$が存在して$y\in U^m(\mathfrak g)$となる. そのような整数のうち最小となるものを$m'$とする. この$m'$についての帰納法により,
\begin{align} y=\sum_{i=0}^{m'} s_i(x_i) \end{align}
となる$x=\sum_{i=0}^{m'} x_i\in G(\mathfrak g)$が存在することを示す.

1. $m'=0$のとき.
$G^0(\mathfrak g)$の定義から, 以下の2つは互いに逆になっている.
\begin{xy} \xymatrix{ U^0(\mathfrak g)\ar@<0.5ex>[r]^{p_0}&G_0(\mathfrak g)\ar@<0.5ex>@{.>}[l]^{\exists s_0} } \end{xy}
よって$y\in U^0(\mathfrak g)$なら$y=s_0(p_0(y))$となる.

2. $m'=k$で成立すると仮定して, $m'=k+1$のとき.
$y\in U^{k+1}(\mathfrak g)$に対して$z$を
\begin{align} z=y-s_{k+1}(p_{k+1}(y)) \end{align}
とおくと, $z\in \ker p_{k+1}= U^k(\mathfrak g)$なので, 帰納法の仮定から
\begin{align} z=\sum_{i=0}^k s_i(x_i) \end{align}
となる$\sum_{i=0}^k x_i\in G(\mathfrak g)$が存在する. 以上より
\begin{align} y=z+s_{k+1}(p_{k+1}(y))=\sum_{i=0}^{k+1} s_i(x_i) \end{align}
となる. ただし$x_{k+1}=p_{k+1}(y)$とおいた.

以上1. 2. より全射性は示された.

単射性

$\ker\Phi\ne 0$と仮定すると, $x=\sum_{i=0}^m x_i\in\ker\Phi$($x_m\ne 0$)を取ることができる. つまり
\begin{align} \Phi(x)=s_m(x_m)+\sum_{i=0}^{m-1} s_i(x_i)=0. \end{align}
よって
\begin{align} s_m(x_m)=-\sum_{i=0}^{m-1} s_i(x_i) \end{align}
となる. 右辺は$U^{m-1}(\mathfrak g)=\ker p_m$に属しているので, 左辺もそれに属する. しかし, 以下の計算と, 仮定$x_m\ne 0$が矛盾を引き起こす.
\begin{align} x_m=\mathrm{id}_{G_m(\mathfrak g)}(x_m)=p_m(s_m(x_m))=0. \end{align}
よって$\ker\Phi=0$とわかり, 単射性は示された.

以上より, 主張は示された.

自然な写像の合成
\begin{align} \varphi_n:T_n(\mathfrak g)\to U^n(\mathfrak g)\to G_n(\mathfrak g) \end{align}
は代数の全射準同型$\varphi:T(\mathfrak g)\to G(\mathfrak g)$を引き起こす. このとき$\tilde J(\mathfrak g)\subset\ker\varphi$であることはすぐにわかるので, 準同型の分解として以下を可換にする代数の全射準同型$\omega$が存在する.
\begin{xy} \xymatrix{ T(\mathfrak g)\ar[r]^\varphi\ar[d]_\pi&G(\mathfrak g)\\ T(\mathfrak g)/\tilde J(\mathfrak g)\ar@{.>}[ru]_{\exists\omega} } \end{xy}
このとき, 以下が成り立つ.

(Poincaré-Birkhoff-Witt, PBW)

この$\omega$は代数同型である(つまり$\tilde J(\mathfrak g)=\ker\varphi$, $\tilde U(\mathfrak g)\cong G(\mathfrak g)$).

この証明を行う前に, 少し記号の準備をする.
$\mathfrak g$の基底の集合との全単射がある整列順序$I$を考える(整列可能定理により, このことはいつでもできる). すると, 基底の集合は$\{x_i\}_{i\in I}$とかける. このとき, $x_{i_1}\cdots x_{i_n}$($i_1\leqq\cdots\leqq i_n$)という形の$T(\mathfrak g)$(または$U(\mathfrak g), G(\mathfrak g), \tilde U(\mathfrak g)$)の元のことを標準単項式と呼ぶことにする.

$\omega$の単射性を示せば十分であるが, これを示すため, $\mathfrak g$の表現を構成する.

表現の構成

変数$\{z_i\}_{i\in I}$を用意したとき, 単語の集合$\{z_{i_1}\cdots z_{i_n}\mid n\in \mathbb Z_{\geqq 0},\ i_1\leqq\cdots\leqq i_n\}$を基底とするベクトル空間を$V$とする($n=0$の単語を$1_V$と書くことにする). ここで, $\rho:\mathfrak g\to\mathrm{End}(V)$を, 長さ1以上の単語を$Z=z_jZ'\in V$と書くとして
\begin{align} \rho(x_i)1_V&:=z_i,\\ \rho(x_i)Z&:= \begin{cases} z_iz_jZ'&(i\leqq j),\\ \rho(x_j)\rho(x_i)Z'+\rho([x_i,x_j])Z'&(i>j) \end{cases} \end{align}
と帰納的に定義すると, この$(\rho,V)$は$\mathfrak g$の表現となる(well-defined性は次章で示す).

$\ker\omega\ne 0$と仮定すると, $0$でない$\sum_{j_1,\dots,j_n}c_{j_1\cdots j_n}x_{j_1}\cdots x_{j_n}\in \tilde U(\mathfrak g)$(長さ$n$の標準単項式の線型結合)であって,
\begin{align} \omega\left(\sum_{j_1,\dots,j_n}c_{j_1\cdots j_n}x_{j_1}\cdots x_{j_n}\right)=0\quad\text{in }G_n(\mathfrak g) \end{align}
となるものが存在する. つまり
\begin{align} \sum_{j_1,\dots,j_n}c_{j_1\cdots j_n}x_{j_1}\cdots x_{j_n}=((n-1)\text{次以下の標準単項式の線型結合})\quad\text{in }U^n(\mathfrak g). \end{align}
この両辺を$1_V$に作用させると, 左辺は$n$次であるのに対して右辺は高々$(n-1)$次であるので, 等号が成り立つためにはすべての$c_{j_1\cdots j_n}$が$0$にならなければならない. これは仮定$\ker\omega\ne 0$に矛盾するので, $\omega$の単射性がわかり, 主張は示される.

PBWの定理により, 以下の系が得られる.

ベクトル空間として
\begin{align} \tilde U(\mathfrak g)\cong U(\mathfrak g). \end{align}

この証明では, 具体的な基底の対応を与えるような写像を考える. PBWの定理により, $G(\mathfrak g)$の任意の元は標準単項式で代表される元の線型結合で表せる. ここで切断$s_n:G_n(\mathfrak g)\to U^n(\mathfrak g)$として
\begin{align} s_n([x_{i_1}\cdots x_{i_n}]):=x_{i_1}\cdots x_{i_n} \end{align}
を選べば, ベクトル空間としての同型$\Phi\circ \omega:\tilde U(\mathfrak g)\to U(\mathfrak g)$を得る.

これにより, $U(\mathfrak g)$の基底は$x_{i_1}\cdots x_{i_n}$($i_1\leqq\cdots\leqq i_n$)の形で書くことができることがわかる.

3. 証明中の表現のwell-defined性

ここでのwell−defined性は, 任意の$x,y\in \mathfrak g, Z\in V$に対して
\begin{align} \rho(x)\rho(y)Z-\rho(y)\rho(x)Z=\rho([x,y])Z \end{align}
を満たすことを確認することである. ここで, $n\in\mathbb Z_{\geqq 0},i\in I$に対して命題$P(n,i)$を

$n$次以下の任意の単項式$Z\in V$と任意の$j,k\in I$に対して$\rho(x_j)\rho(x_k)Z-\rho(x_k)\rho(x_j)Z=\rho([x_j,x_k])Z$を満たし, さらに
$(n+1)$次の任意の単項式$Z\in V$と任意の$j\in I,\ k\in I_{< i}$に対して$\rho(x_j)\rho(x_k)Z-\rho(x_k)\rho(x_j)Z=\rho([x_j,x_k])Z$を満たす.

とする. $P(n,i)$を, $(n,i)$についての超限帰納法で示すことで, well−defined性を確かめたい. そこで, 以下の命題を示す.

$\mathbb Z_{\geqq 0}\times I$に辞書式順序, つまり
\begin{align} (n,i)\leqq (n',i')\quad :\iff\quad n< n'\text{ or 「}n=n'\text{ and }i\leqq i'\text{」} \end{align}
を入れると, これは整列順序となる.

空でない部分集合$S\subset\mathbb Z_{\geqq 0}\times I$をとったとき,
\begin{align} S_1:=\{n\in\mathbb Z_{\geqq 0}\mid \exists i\in I,\ (n,i)\in S\} \end{align}
とすると, これは$Z_{\geqq 0}$の部分集合であるので最小元を持つ. $n_0:=\min S_1$とする. さらに
\begin{align} S_2:=\{i\in I\mid (n_0,i)\in S\} \end{align}
としたとき, $S_2$は整列順序集合$I$の空でない部分集合なので最小元を持つ. $i_0:=\min S_2$とする. このとき$(n_0,i_0)\in S$は明らかに$S$の最小値となる.

これにより, 超限帰納法

$P(0,\min I)$が真
$(n,i)<(n',i')$となる任意の$(n,i)\in \mathbb Z_{\geqq 0}\times I$に対して$P(n,i)$が真$\Rightarrow P(n',i')$が真

を確かめることができる.

$P(0,\min I)$について

明らかに
\begin{align} \rho(x_i)\rho(x_j)1_V-\rho(x_j)\rho(x_i)1_V=\rho([x_i,x_j])1_V \end{align}
である. つまり$P(0,\min I)$は正しい.

$(n,i)<(n',\min I)$に対して$P(n,i)$が正しいとして, $P(n',\min I)$を確かめる

任意の$j,k\in I$と任意の$n'$次単項式$Z\in V$をとる. このとき$j< k$とすると, $P(n'-1,k)$は正しいので,
\begin{align} \rho(x_k)\rho(x_j)Z=\rho(x_j)\rho(x_k)Z+\rho([x_k,x_j])Z \end{align}
を満たすことがわかる. よって$P(n',\min I)$は正しい.

$(n,i)<(n',i')$($i'\ne\min I$)に対して$P(n,i)$が正しいとして, $P(n',i')$を確かめる

$j\in I,\ k\in I_{< i'}$として, $j>k$としても一般性を失わない($j\leqq k$のときは, 以下の議論の$j$と$k$の役割を取り替えれば同じ議論となる). $Z=z_\ell Z'\in V$は$(n'+1)$次の単項式とする.

1. $k\leqq \ell$のときは以下の計算による.
\begin{align} \rho(x_j)\rho(x_k)Z&=\rho(x_j)z_kZ\\ &=\rho(x_k)\rho(x_j)Z+\rho([x_j,x_k])Z. \end{align}

2. $k>\ell$のとき.
\begin{align} \rho(x_j)\rho(x_k)Z&=\rho(x_j)\Big\{\rho(x_\ell)\rho(x_k)Z'+\rho([x_k,x_\ell])Z'\Big\}\\ &=\rho(x_j)\rho(x_\ell)\rho(x_k)Z'+\rho(x_j)\rho([x_k,x_\ell])Z'. \end{align}
ここでこの第2項目は, $P(n',\min I)$の仮定から
\begin{align} \rho(x_j)\rho([x_k,x_\ell])Z'=\rho([x_k ,x_\ell])\rho(x_j)Z'+\rho([x_j,[x_k,x_\ell]])Z' \end{align}
とできる. よって
\begin{align} \rho(x_j)\rho(x_k)Z=\rho(x_j)\rho(x_\ell)\rho(x_k)Z'+\rho([x_k,x_\ell])\rho(x_j)Z'+\rho([x_j,[x_k,x_\ell]])Z'. \end{align}
同様に考えると,
\begin{align} \rho(x_k)\rho(x_j)Z&=\rho(x_k)\rho(x_\ell)\rho(x_j)Z'+\rho([x_j,x_\ell])\rho(x_k)Z'+\rho([x_k,[x_j,x_\ell]]),\\ \rho([x_j,x_k])Z&=\rho(x_\ell)\rho([x_j,x_k])Z'+\rho([[x_j,x_k],x_\ell])Z'. \end{align}
よって,
\begin{align} \rho(x_j)\rho(x_k)Z-\rho(x_k)\rho(x_j)Z-\rho([x_j,x_k])Z=&\Big\{\rho(x_j)\rho(x_\ell)-\rho([x_j,x_\ell])\Big\}\rho(x_k)Z'\\ &-\Big\{\rho(x_k)\rho(x_\ell)-\rho([x_k,x_\ell])\Big\}\rho(x_j)Z'\\ &-\rho(x_\ell)\rho([x_j,x_k])Z'. \end{align}
ここで, Jacobi恒等式を用いて式を簡単にした. このとき$k< i'$だから$P(n',k)$は正しいので
\begin{align} \Big\{\rho(x_j)\rho(x_\ell )-\rho([x_j,x_\ell])\Big\}\rho(x_k)Z'&=\rho(x_\ell)\rho(x_j)\rho(x_k)Z',\\ \Big\{\rho(x_k)\rho(x_\ell)-\rho([x_k,x_\ell])\Big\}\rho(x_j)Z'&=\rho(x_\ell)\rho(x_k)\rho(x_j)Z' \end{align}
とわかる. よって
\begin{align} \rho(x_j)\rho(x_k)Z-\rho(x_k)\rho(x_j)Z-\rho([x_j,x_k])Z&=\rho(x_\ell)\Big\{\rho(x_j)\rho(x_k)-\rho(x_k)\rho(x_j)-\rho([x_j,x_k])\Big\}Z'\\ &=0. \end{align}
最後の等式には$P(n',\min I)$を用いた.

以上1. 2. により$P(n',i')$が正しいことが示された.

以上より, 表現$(\rho,V)$のwell−defined性は示された.

4. おわりに

ここでの記法や主張は, Scheunertを参考にして書いています. Scheunertはcolor Lie代数と呼ばれるLie代数の一般化にあたる代数について論じております. この記事では簡単のため, colorではないLie代数の場合に限ってPBWの証明を行いました. この証明を少し修整すれば, 直ちにcolor Lie代数の場合の証明は得られると思います.