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東大数理院試過去問解答例(2011B06)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2011B06の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。 

2011B06

立方体X=[0,1]3の頂点を
A=(0,0,0)
B1=(1,0,0)
B2=(0,1,0)
B3=(0,0,1)
C1=(1,1,0)
C2=(0,1,1)
C3=(1,0,1)
D=(1,1,1)
とおき、3組の面どうしを以下の対応
AB1C1B2DC1B2C2
AB2C2B3DC2B3C3
AB3C3B1DC3B1C1
によって同一視して得られる剰余位相空間をYとおく。整係数ホモロジー群Hi(Y;Z)を計算しなさい。

以下の証明に於いて、Xの部分集合Xに対して、X/XYによるXの像を表す。また位相空間T,Tに対しTTと書いた時はTTが同相であることを指す。Xの内部をIとし、J=XIする。このときここでJをわずかに厚み付けた図形をJとおく。このとき
Y=I(J/)
ID3
I(J/)S2
である。ここでJを自然に胞体分割してその複体を計算すると、複体
0Z3(222110011101)Z4(01110111)Z20
が得られる。ここからJ/の整係数ホモロジー群は
Hi(J/;Z)={Z(i=0)Z/6Z(i=1)0(i2)
であることが分かる。以上の議論とマイヤー・ビートリス完全列により、
000H3(X;Z)Z0H2(X;Z)0Z/6ZH1(X;Z)ZZ2Z0
が分かる。ここから
Hi(Y;Z)={Z(i=0)Z/6Z(i=1)Z(i=3)0(otherwise)
が従う。

投稿日:25日前
更新日:23日前
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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