東大数理院試過去問解答例(2009B10)

ここでは東大数理の修士課程の院試の2009B10の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2009B10

$(Ω, B, μ)$ を測度空間とする。 $Ω$ のルベーグ可積分関数列 ${f_{n}}$ は殆ど至る所でルベーグ可積分関数 $f$ に収束し、さらに $∥ f_{n} ∥_{1} \overset{n \to \infty}{\to} ∥ f ∥_{1}$ であるとする。このとき等式
$lim_{n \to \infty} ∥ f - f_{n} ∥_{1} = 0$
を示せ。

まずファトゥの補題及び $f_{n}$ が殆ど至る所 $f$ に収束することから
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{Ω} | f | + | f_{n} | - | f - f_{n} | d μ & \geq \int_{Ω} \underset{n \to \infty}{lim inf} | f | + | f_{n} | - | f - f_{n} | d μ \\ = 2 \int_{Ω} | f | d μ \end{aligned}$
である。よってこれと $∥ f_{n} ∥_{1} \overset{n \to \infty}{\to} ∥ f ∥_{1}$ を併せて
$\underset{n \to \infty}{lim sup} ∥ f - f_{n} ∥_{1} d μ \leq 0$
が示せた。ここから結果が従う。

投稿日：2月21日

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藍色日和

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