東大数理院試過去問解答例(2009B10)

まずファトゥの補題及び$f_n$が殆ど至る所$f$に収束することから
$$ \begin{split} \liminf_{n\to\infty}\int_\Omega|f|+|f_n|-|f-f_n|d\mu &\geq\int_\Omega\liminf_{n\to\infty}|f|+|f_n|-|f-f_n|d\mu\\ &=2\int_\Omega|f|d\mu \end{split} $$
である。よってこれと$\|f_n\|_1\xrightarrow{n\to\infty}\|f\|_1$を併せて
$$ \limsup_{n\to\infty}\|f-f_n\|_1d\mu\leq0 $$
が示せた。ここから結果が従う。