A型の量子群Uq(sl_n)とmodule algebra

量子群はHopf代数であるので余積構造が入っている。余積が何らかの積の双対である(←ほんまに?)と考えて、それを"副積"と名付けた。副積Pは表現空間Vのテンソル積V\otimes V上の表現からV上の表現への絡作用素で結合律を満たすものである。この写像により多項式環上に非自明な積を入れることができた。Jantzen『Lectures on Quantum groups』を参考にした。

具体的にA型で見ていくことにする。

$\beta,\gamma,\delta\in\mathbb Z^{n+1},X=(x_0,x_1,\ldots,x_n),X^\beta=x_0^{\beta_0}x_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}$
$\alpha_i=(0,\ldots,\overset{\text{i-1}}{1},\overset{\text{i}}{-1},\ldots,0),\alpha_0 =(-1,0,\ldots,0)\in \mathbb Z^{n+1}$
双線形写像$ g:\mathbb Z^{n+1}\times \mathbb Z^{n+1}\rightarrow \mathbb Z$は以下の関係式を満たすように一意に定義される。
$$ g(\alpha_i,\alpha_j)=\left\{ \begin{array}{l} -1 \ \ \ (j=i\neq 0) \\ 1\ \ \ \ (j=i+1)\\ 0\ \ \ \ (else) \end{array} \right. $$
$$つまりg(\beta,\gamma)=\sum_{i= 1}^n-\gamma_{i-1}(\beta_n+\cdots+\beta_{i-1})$$
$g(\beta,\alpha_i)=-\beta_{i-1},g(\alpha_i,\gamma)=\gamma_i(i\neq 0)$である。$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$はA型のルート系の単純ルートである。
A型の量子群$U=U_q( \mathfrak{sl}_{n+1})$の多項式環上の表現は以下の通りである。
$$\theta_i=x_i\frac{\partial}{\partial x_i} ,[z]=\frac{q^{z}-q^{-z}}{q-q^{-1}}$$ $$ E_i=\frac{x_{i-1}}{x_{i}}\left[\theta_{i}\right],~F_i=\ \frac{x_{i}}{x_{i-1}}\left[\theta_{i-1}\right],~H_i=\theta_{i-1}-\theta_i,~K_i=q^{H_i}$$
$U=U_q( \mathfrak{sl}_{n+1})=\mathbb C[E_i,F_i,K_i;i=1,\ldots,n]$の多項式環$V=\mathbb C[x_0,x_1,\ldots,x_n]$への作用は微分作用として実現する。
$U$はHopf代数であり、次の余積構造$\Delta$(準同型写像)を持つ。
$$\Delta(E_i)=K_i\otimes E_i+E_i\otimes 1,~~\Delta(F_i)=1\otimes F_i+F_i\otimes K_i^{-1},~~\Delta(K_i)=K_i\otimes K_i$$
この表現に対応する副積$\ltimes:V\times V\rightarrow V$を双線形性が満たされるように以下のように導入する。
$$X^\beta \ltimes X^\gamma=q^{g(\beta,\gamma)}X^{\beta+\gamma}$$
これは次の性質を満たす。$f_1,f_2,f_3\in V$
$$結合性:f_1\ltimes f_2\ltimes f_3=(f_1\ltimes f_2 )\ltimes f_3=f_1\ltimes (f_2 \ltimes f_3)$$
$$余積との可換性: G\in \mathcal H,\Delta(G)=\sum_m G_{m1}\otimes G_{m2}のとき$$
$$~~~~~G\cdot (f_1\ltimes f_2)=\sum_m (G_{m1}\cdot f_1)\ltimes (G_{m2} \cdot f_2)$$
証明を行う。$g$の双線形性より
$$g(\beta,\gamma)+g(\beta,\delta)+g(\gamma,\delta)=g(\beta,\gamma)+g(\beta+\gamma,\delta)=g(\beta,\gamma+\delta)+g(\gamma,\delta)$$
となるから基底に対して
$$X^\beta\ltimes X^\gamma \ltimes X^\delta=(X^\beta\ltimes X^\gamma )\ltimes X^\delta=X^\beta\ltimes (X^\gamma \ltimes X^\delta)$$
であり結合性が成立する。余積との可換性は基底$X^\beta$に対する$E_i,F_i,K_i$の作用について成立する事を示せば十分である。
$$K_i\cdot X^\beta=q^{(\alpha_i,\beta)}X^\beta,~~E_i\cdot X^\beta=[\beta_{i}]X^{\beta+\alpha_i},~~F_i\cdot X^\beta=[\beta_{i-1}]X^{\beta-\alpha_i}$$
であるから、
\begin{align} K_i\cdot (X^\beta\ltimes X^\gamma)=&q^{g(\beta,\gamma)+(\alpha_i,\beta+\gamma)}X^{\beta+\gamma}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}(q^{(\alpha_i,\beta)}X^{\beta})(q^{(\alpha_i,\gamma)}X^\gamma)\\ =&(K_i\cdot X^\beta)\ltimes(K_i\cdot X^\gamma) \end{align}
\begin{align} E_i\cdot (X^\beta\ltimes X^\gamma)=&E_i\cdot q^{g(\beta,\gamma)}X^{\beta+\gamma}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}[\beta_{i}+\gamma_{i}]X^{\beta+\gamma+\alpha_i}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}(q^{-\beta_{i}}[\gamma_{i}]+q^{\gamma_{i}} [\beta_{i}])X^{\beta+\gamma+\alpha_i}\\ =&(q^{g(\beta,\gamma+\alpha_i)+\beta_{i-1}-\beta_i}[\gamma_{i}]+q^{g(\beta+\alpha_i,\gamma)}[\beta_{i}])X^{\beta+\gamma+\alpha_i}\\ =&(K_i\cdot X^\beta)\ltimes (E_i\cdot X^\gamma)+(E_i\cdot X^\beta)\ltimes X^\gamma \end{align}

\begin{align} F_i\cdot (X^\beta\ltimes X^\gamma)=&F_i\cdot q^{g(\beta,\gamma)}X^{\beta+\gamma}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}[\beta_{i-1}+\gamma_{i-1}]X^{\beta+\gamma-\alpha_i}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}(q^{\beta_{i-1}}[\gamma_{i-1}]+q^{-\gamma_{i-1}} [\beta_{i-1}])X^{\beta+\gamma-\alpha_i}\\ =&(q^{g(\beta,\gamma-\alpha_i)}[\gamma_{i-1}]+q^{g(\beta-\alpha_i,\gamma)-\gamma_{i-1}+\gamma_i}[\beta_{i-1}])X^{\beta+\gamma-\alpha_i}\\ =& X^\beta\ltimes (F_i\cdot X^\gamma)+(F_i\cdot X^\beta)\ltimes (K_i^{-1}\cdot X^\gamma) \end{align}
となる。
$U$の余単位射$\varepsilon:U\rightarrow \mathbb C$は$\varepsilon(K_i)=1,~\varepsilon(E_i)=\varepsilon(F_i)=0$であるが、これは$u\in U$に対して$\varepsilon(u)=u\cdot 1=u\cdot x^0$と定めたと思うことができる。$\varepsilon$は1への作用を表す構造である。