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A型の量子群Uq(sl_n)とmodule algebra

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$$\newcommand{aa}[0]{\alpha} \newcommand{ad}[0]{\mathrm{ad}} \newcommand{bb}[0]{\beta} \newcommand{dd}[0]{\delta} \newcommand{DD}[0]{\Delta} \newcommand{ee}[0]{\epsilon} \newcommand{g}[0]{\mathfrak g} \newcommand{GG}[0]{\Gamma} \newcommand{gg}[0]{\gamma} \newcommand{hb}[0]{\hbar} \newcommand{K}[0]{\mathbb K} \newcommand{kk}[0]{\kappa} \newcommand{ll}[0]{\lambda} \newcommand{LL}[0]{\Lambda} \newcommand{oo}[0]{\omega} \newcommand{OO}[0]{\Omega} \newcommand{p}[0]{\partial} \newcommand{q}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{sgn}[0]{\mathrm{sgn}} \newcommand{SS}[0]{\sigma} \newcommand{tt}[0]{\theta} \newcommand{TT}[0]{\Theta} \newcommand{uu}[0]{\upsilon} \newcommand{V}[0]{\mathbb V} \newcommand{ve}[0]{\varepsilon} \newcommand{vp}[0]{\varphi} \newcommand{vt}[0]{\vartheta} $$
$q$類似,記号

$$\theta_x=x\frac∂{∂x},\ [N]=\frac{q^N-q^{-N}}{q-q^{-1}},\ D_x=\frac1x[\theta_x],\ [N]_r=[rN]/[r]$$
$$[N]_r!=\prod_{k=0}^N[k]_r,\ \binom{N}{M}_r=\frac{[N]_r!}{[N-M]_r![M]_r!}$$
$$D_k=D_{x_k}, ~~\theta_k=\theta_{x_k}$$
$$単位ベクトルv_i \in R^{2l}, 変数x=(x_1,\ldots,x_{2l})^T, \theta=(\theta_1,\ldots,\theta_{2l})^T$$
$$\alpha,\beta,\gamma \in R^{2l}, \alpha\cdot\beta=\alpha^T\beta$$
$$\underline N=\{1,2,\ldots,N\}$$
$$[x,y]=xy-yx$$

量子群はHopf代数であるので余積構造が入っている。余積が何らかの積の双対である(←ほんまに?)と考えて、それを"副積"と名付けた。副積Pは表現空間Vのテンソル積V\otimes V上の表現からV上の表現への絡作用素で結合律を満たすものである。この写像により多項式環上に非自明な積を入れることができた。Jantzen『Lectures on Quantum groups』を参考にした。

副積の定義

Hopf代数Uの表現$( \rho,V)$、Uの余積を$\Delta$とする。V上の副積とは次の写像$P:V\otimes V\rightarrow V$で次の条件を満たすものである。
結合性:$P\circ(id\otimes P)=P\circ(P\otimes id)$
余積との整合性:Pは$V\otimes V$上の表現$(\rho \otimes\rho)\circ \Delta$からV上の表現$\rho$への絡作用素
副積を$f_1\ltimes f_2=P(f_1\otimes f_2) ~~~~~(f_1,f_2\in V)$と表記する(半直積の記号ではない)と、条件は次のように言い換えられる。
$f_1,f_2,f_3\in V$
$$結合性:f_1\ltimes f_2\ltimes f_3=(f_1\ltimes f_2 )\ltimes f_3=f_1\ltimes (f_2 \ltimes f_3)$$
$$余積との可換性: G\in U,\Delta(G)=\sum_m G_{m1}\otimes G_{m2}のとき$$
$$~~~~~G\cdot (f_1\ltimes f_2)=\sum_m (G_{m1}\cdot f_1)\ltimes (G_{m2} \cdot f_2)$$

具体的にA型で見ていくことにする。

$\beta,\gamma,\delta\in\mathbb Z^{n+1},X=(x_0,x_1,\ldots,x_n),X^\beta=x_0^{\beta_0}x_1^{\beta_1}\cdots x_n^{\beta_n}$
$\alpha_i=(0,\ldots,\overset{\text{i-1}}{1},\overset{\text{i}}{-1},\ldots,0),\alpha_0 =(-1,0,\ldots,0)\in \mathbb Z^{n+1}$
双線形写像$ g:\mathbb Z^{n+1}\times \mathbb Z^{n+1}\rightarrow \mathbb Z$は以下の関係式を満たすように一意に定義される。
$$ g(\alpha_i,\alpha_j)=\left\{ \begin{array}{l} -1 \ \ \ (j=i\neq 0) \\ 1\ \ \ \ (j=i+1)\\ 0\ \ \ \ (else) \end{array} \right. $$
$$つまりg(\beta,\gamma)=\sum_{i= 1}^n\beta_{i-1}(\gamma_i+\cdots+\gamma_{n})$$
公開時にgの式に誤りがありました。申し訳ありません。
$g(\beta,\alpha_i)=-\beta_{i-1},g(\alpha_i,\gamma)=\gamma_i(i\neq 0)$である。$\alpha_1,\ldots,\alpha_n$はA型のルート系の単純ルートである。
A型の量子群$U=U_q( \mathfrak{sl}_{n+1})$の多項式環上の表現は以下の通りである。
$$\theta_i=x_i\frac{\partial}{\partial x_i} ,[z]=\frac{q^{z}-q^{-z}}{q-q^{-1}}$$ $$ E_i=\frac{x_{i-1}}{x_{i}}\left[\theta_{i}\right],~F_i=\ \frac{x_{i}}{x_{i-1}}\left[\theta_{i-1}\right],~H_i=\theta_{i-1}-\theta_i,~K_i=q^{H_i}$$
$U=U_q( \mathfrak{sl}_{n+1})=\mathbb C[E_i,F_i,K_i;i=1,\ldots,n]$の多項式環$V=\mathbb C[x_0,x_1,\ldots,x_n]$への作用は微分作用として実現する。
$U$はHopf代数であり、次の余積構造$\Delta$(準同型写像)を持つ。
$$\Delta(E_i)=K_i\otimes E_i+E_i\otimes 1,~~\Delta(F_i)=1\otimes F_i+F_i\otimes K_i^{-1},~~\Delta(K_i)=K_i\otimes K_i$$
この表現に対応する副積$\ltimes:V\times V\rightarrow V$を双線形性が満たされるように以下のように導入する。
$$X^\beta \ltimes X^\gamma=q^{g(\beta,\gamma)}X^{\beta+\gamma}$$
これは次の性質を満たす。$f_1,f_2,f_3\in V$
$$結合性:f_1\ltimes f_2\ltimes f_3=(f_1\ltimes f_2 )\ltimes f_3=f_1\ltimes (f_2 \ltimes f_3)$$
$$余積との可換性: G\in \mathcal H,\Delta(G)=\sum_m G_{m1}\otimes G_{m2}のとき$$
$$~~~~~G\cdot (f_1\ltimes f_2)=\sum_m (G_{m1}\cdot f_1)\ltimes (G_{m2} \cdot f_2)$$
証明を行う。$g$の双線形性より
$$g(\beta,\gamma)+g(\beta,\delta)+g(\gamma,\delta)=g(\beta,\gamma)+g(\beta+\gamma,\delta)=g(\beta,\gamma+\delta)+g(\gamma,\delta)$$
となるから基底に対して
$$X^\beta\ltimes X^\gamma \ltimes X^\delta=(X^\beta\ltimes X^\gamma )\ltimes X^\delta=X^\beta\ltimes (X^\gamma \ltimes X^\delta)$$
であり結合性が成立する。余積との可換性は基底$X^\beta$に対する$E_i,F_i,K_i$の作用について成立する事を示せば十分である。
$$K_i\cdot X^\beta=q^{(\alpha_i,\beta)}X^\beta,~~E_i\cdot X^\beta=[\beta_{i}]X^{\beta+\alpha_i},~~F_i\cdot X^\beta=[\beta_{i-1}]X^{\beta-\alpha_i}$$
であるから、
\begin{align} K_i\cdot (X^\beta\ltimes X^\gamma)=&q^{g(\beta,\gamma)+(\alpha_i,\beta+\gamma)}X^{\beta+\gamma}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}(q^{(\alpha_i,\beta)}X^{\beta})(q^{(\alpha_i,\gamma)}X^\gamma)\\ =&(K_i\cdot X^\beta)\ltimes(K_i\cdot X^\gamma) \end{align}
\begin{align} E_i\cdot (X^\beta\ltimes X^\gamma)=&E_i\cdot q^{g(\beta,\gamma)}X^{\beta+\gamma}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}[\beta_{i}+\gamma_{i}]X^{\beta+\gamma+\alpha_i}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}(q^{-\beta_{i}}[\gamma_{i}]+q^{\gamma_{i}} [\beta_{i}])X^{\beta+\gamma+\alpha_i}\\ =&(q^{g(\beta,\gamma+\alpha_i)+\beta_{i-1}-\beta_i}[\gamma_{i}]+q^{g(\beta+\alpha_i,\gamma)}[\beta_{i}])X^{\beta+\gamma+\alpha_i}\\ =&(K_i\cdot X^\beta)\ltimes (E_i\cdot X^\gamma)+(E_i\cdot X^\beta)\ltimes X^\gamma \end{align}

\begin{align} F_i\cdot (X^\beta\ltimes X^\gamma)=&F_i\cdot q^{g(\beta,\gamma)}X^{\beta+\gamma}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}[\beta_{i-1}+\gamma_{i-1}]X^{\beta+\gamma-\alpha_i}\\ =&q^{g(\beta,\gamma)}(q^{\beta_{i-1}}[\gamma_{i-1}]+q^{-\gamma_{i-1}} [\beta_{i-1}])X^{\beta+\gamma-\alpha_i}\\ =&(q^{g(\beta,\gamma-\alpha_i)}[\gamma_{i-1}]+q^{g(\beta-\alpha_i,\gamma)-\gamma_{i-1}+\gamma_i}[\beta_{i-1}])X^{\beta+\gamma-\alpha_i}\\ =& X^\beta\ltimes (F_i\cdot X^\gamma)+(F_i\cdot X^\beta)\ltimes (K_i^{-1}\cdot X^\gamma) \end{align}
となる。
$U$の余単位射$\varepsilon:U\rightarrow \mathbb C$$\varepsilon(K_i)=1,~\varepsilon(E_i)=\varepsilon(F_i)=0$であるが、これは$u\in U$に対して$\varepsilon(u)=u\cdot 1=u\cdot x^0$と定めたと思うことができる。$\varepsilon$は1への作用を表す構造である。

ribbon hopf algebraの計算を行う。まず記号の定義を行う。

$U=U_q(sl_2)$の積$m:U\otimes U\rightarrow U$
$E=E_1,F=F_1,H=H_1,K_1=q^H$
$x=x_1,y=x_2$
$\ve=1-q^{-2}$
$Q=q^{-2}$
$$e_q[x]=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{[n]!}q^{\binom n2}$$
$$\mathcal R=q^{H\otimes H}e_q[q\ve E\otimes F]$$
$$u=q^{-\frac 12 H^2}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-q\ve)^n}{[n]!}q^{3\binom n2}F^nK^{-n}E^n$$
$v=q^{-H}u$
反準同型$S:U\rightarrow U$
$S(x)=xq^{-\tt_x},~S(y)=yq^{-\tt_y},~S(\tt_x)=-\tt_x-1,~S(\tt_y)=-\tt_y-1,~$
次の定義式は nkswtrのpdf参照
$~_r\phi_s:$q超幾何級数

$$[A;q]_{r,n}=\prod_i\prod_{k=0}^{n-1}[A_i+k]_r$$
$Q^A=(Q^{A_1},\ldots Q^{A_r})$
$C_1$型への同型
$$\rho(E)=\frac{i}{[2]_{1/2}}x^2,~\rho(F)=\frac i{[2]_{1/2}}\left(\frac 1x[\tt_x]_{1/2}\right)^2,~\rho(H)=\tt_x+\frac12 $$

$U=U_q(sl_2)$に対象を絞り、『結び目の不変量』大槻著の第四章をもとに話を進める。$U\otimes U$の適切な完備化の元として普遍R行列$\mathcal R$が存在する。また、$S$はHopf代数$U$のAntipodeを与える。

Antipodeの計算
$S(H)=-H,S(E)=-EK^{-1},S(F)=-KF$
Ribbon Hopf Algebraにおいて元$u,v$が存在していくつかの条件を満たすものとして定義される。ここでは先にu,vを構成しているので、u,vの性質として記しておく。文献に記載されているので証明略。
$u=m\circ(1\otimes S)\mathcal R$
$\ve(v)=1$
$v^2=uS(u)$

$$~_r\phi_s\left(\begin{array}{r} Q^A \\ Q^B \end{array};Q;z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{[n]!}\left((-q\ve)^n q^{\binom n2}\right)^{r-s-1} q^{-n(\sum_i A_i-B_i-1)}$$

投稿日:2023915
更新日:20231115

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赤げふ
赤げふ
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東工大情報理工B3 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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