A型の量子群Uq(sl_n)とmodule algebra

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q

類似,記号

$θ_{x} = x \frac{\partial}{\partial x}, [N] = \frac{q^{N} - q^{- N}}{q - q^{- 1}}, D_{x} = \frac{1}{x} [θ_{x}], [N]_{r} = [r N] / [r]$
$[N]_{r}! = \prod_{k = 0}^{N} [k]_{r}, {(\binom{N}{M})}_{r} = \frac{[N]_{r}!}{[N - M]_{r}! [M]_{r}!}$
$D_{k} = D_{x_{k}}, θ_{k} = θ_{x_{k}}$
$単位ベクトル v_{i} \in R^{2 l}, 変数 x = (x_{1}, \dots, x_{2 l})^{T}, θ = (θ_{1}, \dots, θ_{2 l})^{T}$
$α, β, γ \in R^{2 l}, α \cdot β = α^{T} β$
$\underset{―}{N} = {1, 2, \dots, N}$
$[x, y] = x y - y x$

量子群はHopf代数であるので余積構造が入っている。余積が何らかの積の双対である(←ほんまに?)と考えて、それを"副積"と名付けた。副積Pは表現空間Vのテンソル積V\otimes V上の表現からV上の表現への絡作用素で結合律を満たすものである。この写像により多項式環上に非自明な積を入れることができた。Jantzen『Lectures on Quantum groups』を参考にした。

副積の定義

Hopf代数Uの表現 $(ρ, V)$ 、Uの余積を $Δ$ とする。V上の副積とは次の写像 $P : V \otimes V \to V$ で次の条件を満たすものである。
結合性: $P \circ (i d \otimes P) = P \circ (P \otimes i d)$
余積との整合性:Pは $V \otimes V$ 上の表現 $(ρ \otimes ρ) \circ Δ$ からV上の表現 $ρ$ への絡作用素
副積を $f_{1} ⋉ f_{2} = P (f_{1} \otimes f_{2}) (f_{1}, f_{2} \in V)$ と表記する(半直積の記号ではない)と、条件は次のように言い換えられる。
$f_{1}, f_{2}, f_{3} \in V$
$結合性 : f_{1} ⋉ f_{2} ⋉ f_{3} = (f_{1} ⋉ f_{2}) ⋉ f_{3} = f_{1} ⋉ (f_{2} ⋉ f_{3})$
$余積との可換性 : G \in U, Δ (G) = \sum_{m} G_{m 1} \otimes G_{m 2} のとき$
$G \cdot (f_{1} ⋉ f_{2}) = \sum_{m} (G_{m 1} \cdot f_{1}) ⋉ (G_{m 2} \cdot f_{2})$

具体的にA型で見ていくことにする。

$β, γ, δ \in Z^{n + 1}, X = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}), X^{β} = x_{0}^{β_{0}} x_{1}^{β_{1}} \dots x_{n}^{β_{n}}$
$α_{i} = (0, \dots, \overset{i-1}{1}, \overset{i}{- 1}, \dots, 0), α_{0} = (- 1, 0, \dots, 0) \in Z^{n + 1}$
双線形写像 $g : Z^{n + 1} \times Z^{n + 1} \to Z$ は以下の関係式を満たすように一意に定義される。
$g (α_{i}, α_{j}) = {\begin{cases} - 1 (j = i \neq 0) \\ 1 (j = i + 1) \\ 0 (e l s e) \end{cases}$
$つまり g (β, γ) = \sum_{i = 1}^{n} β_{i - 1} (γ_{i} + \dots + γ_{n})$
公開時にgの式に誤りがありました。申し訳ありません。
$g (β, α_{i}) = - β_{i - 1}, g (α_{i}, γ) = γ_{i} (i \neq 0)$ である。 $α_{1}, \dots, α_{n}$ はA型のルート系の単純ルートである。
A型の量子群 $U = U_{q} ({sl}_{n + 1})$ の多項式環上の表現は以下の通りである。
$θ_{i} = x_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}}, [z] = \frac{q^{z} - q^{- z}}{q - q^{- 1}}$ $E_{i} = \frac{x_{i - 1}}{x_{i}} [θ_{i}], F_{i} = \frac{x_{i}}{x_{i - 1}} [θ_{i - 1}], H_{i} = θ_{i - 1} - θ_{i}, K_{i} = q^{H_{i}}$
$U = U_{q} ({sl}_{n + 1}) = C [E_{i}, F_{i}, K_{i}; i = 1, \dots, n]$ の多項式環 $V = C [x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}]$ への作用は微分作用として実現する。
$U$ はHopf代数であり、次の余積構造 $Δ$ (準同型写像)を持つ。
$Δ (E_{i}) = K_{i} \otimes E_{i} + E_{i} \otimes 1, Δ (F_{i}) = 1 \otimes F_{i} + F_{i} \otimes K_{i}^{- 1}, Δ (K_{i}) = K_{i} \otimes K_{i}$
この表現に対応する副積 $⋉ : V \times V \to V$ を双線形性が満たされるように以下のように導入する。
$X^{β} ⋉ X^{γ} = q^{g (β, γ)} X^{β + γ}$
これは次の性質を満たす。 $f_{1}, f_{2}, f_{3} \in V$
$結合性 : f_{1} ⋉ f_{2} ⋉ f_{3} = (f_{1} ⋉ f_{2}) ⋉ f_{3} = f_{1} ⋉ (f_{2} ⋉ f_{3})$
$余積との可換性 : G \in H, Δ (G) = \sum_{m} G_{m 1} \otimes G_{m 2} のとき$
$G \cdot (f_{1} ⋉ f_{2}) = \sum_{m} (G_{m 1} \cdot f_{1}) ⋉ (G_{m 2} \cdot f_{2})$
証明を行う。 $g$ の双線形性より
$g (β, γ) + g (β, δ) + g (γ, δ) = g (β, γ) + g (β + γ, δ) = g (β, γ + δ) + g (γ, δ)$
となるから基底に対して
$X^{β} ⋉ X^{γ} ⋉ X^{δ} = (X^{β} ⋉ X^{γ}) ⋉ X^{δ} = X^{β} ⋉ (X^{γ} ⋉ X^{δ})$
であり結合性が成立する。余積との可換性は基底 $X^{β}$ に対する $E_{i}, F_{i}, K_{i}$ の作用について成立する事を示せば十分である。
$K_{i} \cdot X^{β} = q^{(α_{i}, β)} X^{β}, E_{i} \cdot X^{β} = [β_{i}] X^{β + α_{i}}, F_{i} \cdot X^{β} = [β_{i - 1}] X^{β - α_{i}}$
であるから、
$\begin{aligned} K_{i} \cdot (X^{β} ⋉ X^{γ}) = & q^{g (β, γ) + (α_{i}, β + γ)} X^{β + γ} \\ = & q^{g (β, γ)} (q^{(α_{i}, β)} X^{β}) (q^{(α_{i}, γ)} X^{γ}) \\ = & (K_{i} \cdot X^{β}) ⋉ (K_{i} \cdot X^{γ}) \end{aligned}$
$\begin{aligned} E_{i} \cdot (X^{β} ⋉ X^{γ}) = & E_{i} \cdot q^{g (β, γ)} X^{β + γ} \\ = & q^{g (β, γ)} [β_{i} + γ_{i}] X^{β + γ + α_{i}} \\ = & q^{g (β, γ)} (q^{- β_{i}} [γ_{i}] + q^{γ_{i}} [β_{i}]) X^{β + γ + α_{i}} \\ = & (q^{g (β, γ + α_{i}) + β_{i - 1} - β_{i}} [γ_{i}] + q^{g (β + α_{i}, γ)} [β_{i}]) X^{β + γ + α_{i}} \\ = & (K_{i} \cdot X^{β}) ⋉ (E_{i} \cdot X^{γ}) + (E_{i} \cdot X^{β}) ⋉ X^{γ} \end{aligned}$

$\begin{aligned} F_{i} \cdot (X^{β} ⋉ X^{γ}) = & F_{i} \cdot q^{g (β, γ)} X^{β + γ} \\ = & q^{g (β, γ)} [β_{i - 1} + γ_{i - 1}] X^{β + γ - α_{i}} \\ = & q^{g (β, γ)} (q^{β_{i - 1}} [γ_{i - 1}] + q^{- γ_{i - 1}} [β_{i - 1}]) X^{β + γ - α_{i}} \\ = & (q^{g (β, γ - α_{i})} [γ_{i - 1}] + q^{g (β - α_{i}, γ) - γ_{i - 1} + γ_{i}} [β_{i - 1}]) X^{β + γ - α_{i}} \\ = & X^{β} ⋉ (F_{i} \cdot X^{γ}) + (F_{i} \cdot X^{β}) ⋉ (K_{i}^{- 1} \cdot X^{γ}) \end{aligned}$
となる。
$U$ の余単位射 $ε : U \to C$ は $ε (K_{i}) = 1, ε (E_{i}) = ε (F_{i}) = 0$ であるが、これは $u \in U$ に対して $ε (u) = u \cdot 1 = u \cdot x^{0}$ と定めたと思うことができる。 $ε$ は1への作用を表す構造である。

ribbon hopf algebraの計算を行う。まず記号の定義を行う。

$U = U_{q} (s l_{2})$ の積 $m : U \otimes U \to U$
$E = E_{1}, F = F_{1}, H = H_{1}, K_{1} = q^{H}$
$x = x_{1}, y = x_{2}$
$ε = 1 - q^{- 2}$
$Q = q^{- 2}$
$e_{q} [x] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{[n]!} q^{(\binom{n}{2})}$
$R = q^{H \otimes H} e_{q} [q ε E \otimes F]$
$u = q^{- \frac{1}{2} H^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- q ε)^{n}}{[n]!} q^{3 (\binom{n}{2})} F^{n} K^{- n} E^{n}$
$v = q^{- H} u$
反準同型 $S : U \to U$
$S (x) = x q^{- θ_{x}}, S (y) = y q^{- θ_{y}}, S (θ_{x}) = - θ_{x} - 1, S (θ_{y}) = - θ_{y} - 1,$
次の定義式は nkswtrのpdf参照
$_{r} ϕ_{s} :$ q超幾何級数

$[A; q]_{r, n} = \prod_{i} \prod_{k = 0}^{n - 1} [A_{i} + k]_{r}$
$Q^{A} = (Q^{A_{1}}, \dots Q^{A_{r}})$
$C_{1}$ 型への同型
$ρ (E) = \frac{i}{[2]_{1 / 2}} x^{2}, ρ (F) = \frac{i}{[2]_{1 / 2}} {(\frac{1}{x} [θ_{x}]_{1 / 2})}^{2}, ρ (H) = θ_{x} + \frac{1}{2}$

$U = U_{q} (s l_{2})$ に対象を絞り、『結び目の不変量』大槻著の第四章をもとに話を進める。 $U \otimes U$ の適切な完備化の元として普遍R行列 $R$ が存在する。また、 $S$ はHopf代数 $U$ のAntipodeを与える。

Antipodeの計算
$S (H) = - H, S (E) = - E K^{- 1}, S (F) = - K F$
Ribbon Hopf Algebraにおいて元 $u, v$ が存在していくつかの条件を満たすものとして定義される。ここでは先にu,vを構成しているので、u,vの性質として記しておく。文献に記載されているので証明略。
$u = m \circ (1 \otimes S) R$
$ε (v) = 1$
$v^{2} = u S (u)$

$_{r} ϕ_{s} (\begin{array}{r} Q^{A} \\ Q^{B} \end{array}; Q; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{[n]!} {((- q ε)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{r - s - 1} q^{- n (\sum_{i} A_{i} - B_{i} - 1)}$