令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第1問

問題は, 神戸大数学科のウェブサイト の 令和 4 年度編入試（PDF-file） を参照してください。

令和4年度神戸大理学部数学科3年次編入第1問の解答

$(1)$
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)=x+ay,{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)=ax+y^3,\end{array}$$
そして
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}(x,y)=1,{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial xy}}(x,y)={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial yx}}(x,y)=a,{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}}(x,y)=3y^2\end{array}$$
である。ゆえに
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y)=0かつ,{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}(x,y)=0,\end{array}$$
となるのは
$$\begin{array}{r}(x,y)=(-a^2,a),(a^2,-a),(0,0).\end{array}$$
ここで, $a=0$のとき点$(-a^2,a)(=(a^2,-a)=(0,0))$は, $f$の極小点である。実際, このとき
$$\begin{array}{r}f(x,y)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{y^4}{4}}>0\end{array}$$
が任意の点$(x,y)$で成り立ち, $f(0,,0)=0$だからである。
以下$a\ne 0$で議論する。$f$の点$(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$のヘッセ行列を$H(x,y)$とおくと
$$\begin{array}{r}\det (H(-a^2,a))=\left|\begin{array}{cc}1& a\\ a& 3a^2\end{array}\right|=2a^2>0,\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\det (H(-a^2,a))=\left|\begin{array}{cc}1& a\\ a& 3a^2\end{array}\right|=2a^2>0,\end{array}$$
$$\begin{array}{r}\det (H(0,0))=\left|\begin{array}{cc}1& a\\ a& 0\end{array}\right|=-a^2<0\end{array}$$
ゆえ, 2点$(-a^2,a),(a^2,-a)$は$f$の極大点でも極小点でもないが, $(0,0)$は極小点で$f(0,0)=0$である。

$(2)$

$$\begin{array}{r}uv=xy{e}^{x^2+y^2}\end{array}$$
だから
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}(uv)=y{e}^{x^2+y^2}+xy{e}^{x^2+y^2}\cdot 2x=y{e}^{x^2+y^2}(1+2x^2),\end{array}$$
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}(uv)=x{e}^{x^2+y^2}(1+2y^2).\end{array}$$
したがって
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}}(x,y)=\cos (uv)\cdot {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}(uv)=\cos (xy{e}^{x^2+y^2})\cdot y{e}^{x^2+y^2}(1+2x^2)=y{e}^{x^2+y^2}(1+2x^2)\cos (xy{e}^{x^2+y^2}),\end{array}$$
$$\begin{array}{r}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}}(x,y)=\cos (uv)\cdot {\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}(uv)=\cos (xy{e}^{x^2+y^2})\cdot x{e}^{x^2+y^2}(1+2y^2)=x{e}^{x^2+y^2}(1+2y^2)\cos (xy{e}^{x^2+y^2}),\end{array}$$