Hardyの不等式とCarlemanの不等式

$p=\infty$のときは明らかなため、$p<\infty$の時を考える。
また、$\operatorname{supp}{f} \subset (0, \infty)$がコンパクトの場合のみ示せば、単調収束定理によって
\begin{equation} \begin{split} \lVert Tf\rVert_p \leq \lVert T|f|\rVert_p &=\lim_{R\to \infty} \lVert T(\chi_{(1/R, R)}|f|)\rVert_p \\ &\leq \lim_{R\to \infty} \frac{p}{p-1} \lVert \chi_{(1/R, R)}|f| \rVert_p \\ &= \frac{p}{p-1}\lVert f \rVert_p \end{split} \end{equation}
のように一般の場合が示されるため、以降そのように仮定する。
$\displaystyle x \mapsto \int_0^x|f(y)|dy$が$(0, \infty)$内の各コンパクト区間で絶対連続であるため、単調収束定理と部分積分によって
\begin{equation} \begin{split} \lVert Tf \rVert_p^p &\leq \lVert T|f| \rVert_p^p \\ &= \int_0^\infty \frac{1}{x^p} \left\{ \int_0^x |f(y)| dy \right\}^p dx \\ &= \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1/a} \frac{1}{x^p}\left\{ \int_0^x |f(y)| dy \right\}^p dx \\ &= \frac{p}{p-1} \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1/a} \frac{|f(x)|}{x^{p-1}}\left\{ \int_0^x |f(y)| dy \right\}^{p-1} dx \\ &\quad -\frac{1}{p-1}\lim_{a \to +0} \frac{1}{(1/a)^{p-1}}\left\{ \int_0^{1/a} |f(y)| dy\right\}^p \\ &\quad +\frac{1}{p-1}\lim_{a \to +0} \frac{1}{a^{p-1}}\left\{ \int_0^a |f(y)| dy\right\}^p \\ &= \frac{p}{p-1} \int_{0}^{\infty} \frac{|f(x)|}{x^{p-1}}\left\{ \int_0^x |f(y)| dy \right\}^{p-1} dx, \end{split} \end{equation}
を得る。ただし、途中で$\operatorname{supp}{f} \subset (0, \infty)$のコンパクト性より、
\begin{align} \frac{1}{(1/a)^{p-1}}\left\{ \int_0^{1/a} |f(y)| dy\right\}^p &\to 0 \qquad \text{as $a \to +0$} \\ \frac{1}{a^{p-1}}\left\{ \int_0^a |f(y)| dy\right\}^p \ &= 0 \qquad \text{for small $a>0$} \end{align}
であることを用いた。
Hölderの不等式により、
\begin{equation} \begin{split} \lVert T|f| \rVert_p^p&= \frac{p}{p-1} \int_0^\infty \frac{|f(x)|}{x^{p-1}}\left\{ \int_0^x |f(y)| dy \right\}^{p-1} dx \\ &\leq \frac{p}{p-1}\lVert f \rVert_p \left\lVert \frac{1}{x^{p-1}}\left\{ \int_0^x |f(y)| dy \right\}^{p-1} \right \rVert_{p/(p-1)} \\ &= \frac{p}{p-1} \lVert f \rVert_p \lVert T|f| \rVert_p^{p-1}, \end{split} \end{equation}
となり、
\begin{equation} \lVert T|f| \rVert_p \leq \frac{p}{p-1} \lVert f \rVert_p, \end{equation}
を得る。
これより主張を得る。

のちに追記するが、積分型のMinkowskiの不等式を用いる方法もある。

$f \in L^1(0, \infty)$の場合のみ考えれば十分である。$p \in (1, \infty)$を任意にとる。$f \geq 0$より、Hardyの不等式で$f^{1/p}$を用いると、
\begin{equation} \int_0^\infty \left\{ \int_0^x (f(y))^{1/p} \frac{dy}{x} \right\}^p dx \leq \left( \frac{p}{p-1} \right)^p \int_0^\infty f(x)dx. \end{equation}
両辺$\displaystyle \liminf_{p \to \infty}$をとると、
\begin{equation} \liminf_{p \to \infty}\int_0^\infty \left\{ \int_0^x (f(y))^{1/p} \frac{dy}{x} \right\}^p dx \leq e \int_0^\infty f(x)dx. \end{equation}
よってFatouの補題と$\lVert \bullet \rVert_q$の$q \to +0$での挙動より、
\begin{equation} \begin{split} \int_0^\infty \exp\left\{ \frac{1}{x}\int_0^x \log f(y)dy \right\}dx &\leq \int_0^\infty \lim_{p \to \infty} \lVert f \rVert_{L^{1/p}((0, x), dm/x)} dx \\ &\leq \liminf_{p \to \infty} \int_0^\infty \lVert f \rVert_{L^{1/p}((0, x), dm/x)} dx \\ &= \liminf_{p \to \infty} \int_0^\infty \left\{ \int_0^x (f(y))^{1/p} \frac{dy}{x} \right\}^p dx \\ &\leq e\int_0^\infty f(x)dx, \end{split} \end{equation}
ただしここで$m$はLebesgue測度である。