Fermatのクリスマス定理

素数を2つの平方数の和で表す

突然ですが, 素数を2つの平方数の和として表してみましょう. $2 = 1^2 + 1^2$ですから, 奇素数を考えます.
これは, 1から100までの素数についてしらべたものです (表せない場合は, 数字のみがかいてあります) :
\begin{align} &\ \ 3\\ &\ \ 5 = 1^2 + 2^2\\ &\ \ 7\\ &11\\ &13 = 2^2 + 3^2\\ &17 = 1^2 + 4^2\\ &19\\ &23\\ &29 = 2^2 + 5^2\\ &31\\ &37 = 1^2 + 6^2\\ &41 = 4^2 + 5^2\\ &43\\ &47\\ &53 = 2^2 + 7^2\\ &59\\ &61 = 5^2 + 6^2\\ &67\\ &71\\ &73 = 3^2 + 8^2\\ &79\\ &83\\ &89 = 5^2 + 8^2\\ &97 = 4^2 + 9^2\\ \end{align}
このように, 2つの平方数の和として表せる素数とそうでない素数があることがわかります. どのような奇素数が2つの平方数の和として表すことができるのでしょうか？

Fermatのクリスマス定理

上の疑問に答えを与えてくれるのが, Fermatのクリスマス定理です.

試しに上の素数について調べてみると, 確かに成り立っていることがわかります.

証明

必要性の証明はかんたんです. 十分性の証明は3つの写像を考えます.

必要性

$p = x^2 + y^2 \quad (x, y \in \mathbb{Z})$とおく. $x = 2 n, y = 2 m + 1 \quad (n, m \in \mathbb{Z})$としてよい. すると$x^2 \equiv 0 , y^2 \equiv 1\pmod{4}$であることが容易に確かめられるから$p \equiv 1 \pmod{4}$である.

十分性

$p = 2 n + 1 \quad (n \ge 1)$とおく. 集合$S$を
$$ S = \set{(x, y, z) \in \mathbb{Z}^3 \mid 4 x y + z^2 = p, x > 0, y > 0} $$
として定義する. これは空でない有限集合である. 実際$(n, 1, 1) \in S$であり, また$x \ge 1$かつ$y \ge 1$だから$\frac{p}{4} \ge x$かつ$\frac{p}{4} \ge y$であり, 各$x, y$に対し$(x, y, z) \in \mathbb{Z}^3$が$S$の元となるような$z$は高々2つである.

1

$S$から$S$への写像$f$を
$$ f(x, y, z) = (y, x, -z) $$
として定義する. $f \circ f = \mathrm{id}_S$だから$f^{-1} = f$であり, $f$は逆写像をもつから全単射である. ここで
\begin{align} T &\coloneqq \set{(x, y, z) \in S \mid z > 0}\text{,}\\ U &\coloneqq \set{(x, y, z) \in S \mid (x - y) + z > 0} \end{align}
とする. すると$f$は$T$の元を$S \setminus T$の元に写し, $x - y, z$の符号を変えるから$U$の元を$S \setminus U$の元に写す. 特に$T \setminus U$の元を$U \setminus T$に, $U \setminus T$の元を$T \setminus U$の元に写す. すなわち$\#(T \setminus U) = \#(U \setminus T)$ということだから, $\#T = \#U$である.

2

次に考える写像は次のものである :
$$ g \colon U \to U, (x, y, z) \mapsto (x - y + z, y, 2 y - z) \text{.} $$
これが写像としてちゃんと定義されている. これは, 不動点をただ1つだけもつ. 実際, $(x, y, z) \in U$が不動点であるなら$y = z$であり($x - y + z = x$からわかる), したがって$4 x y + z^2 = y(4 x + y) = p$だから$(x, y, z) = (n, 1, 1)$でなければならない. $n - 1 + 1 > 0$だからこれは$U$の元である. また, これは$g$自身が逆写像となるから全単射である. ゆえに, $U$の濃度は奇数である.

3

最後に
$$ h \colon T \to T, (x, y, z) \mapsto (y, x, z) $$
を考える. これもまた全単射であり, $h^{-1} = h$である. また, 上の1, 2から$\#T = \#U$は奇数であり, したがって$h$は不動点をもつ. これを$(x, y, z)$とすると$x = y$だから$4 x^2 + z^2 = (2 x)^2 + z^2 = p$. これで証明された.

おわり

これでおわりです. Fermatのクリスマス定理には様々な証明があるのですが, ここで紹介した証明はそのなかでもとくに簡単で, 難しい知識も必要のないものです. 「素数を2つの平方数の和として表す」ということと「4で割ったあまり」が関係しているというのは驚きですね. この定理は私が特に好きな定理の1つです. みなさんが好きな定理や証明などがあったら, おしえてほしいです.