突然ですが, 素数を2つの平方数の和として表してみましょう.
これは, 1から100までの素数についてしらべたものです (表せない場合は, 数字のみがかいてあります) :
このように, 2つの平方数の和として表せる素数とそうでない素数があることがわかります. どのような奇素数が2つの平方数の和として表すことができるのでしょうか?
上の疑問に答えを与えてくれるのが, Fermatのクリスマス定理です.
奇素数
試しに上の素数について調べてみると, 確かに成り立っていることがわかります.
必要性の証明はかんたんです. 十分性の証明は3つの写像を考えます.
として定義する. これは空でない有限集合である. 実際
として定義する.
とする. すると
次に考える写像は次のものである :
これが写像としてちゃんと定義されている. これは, 不動点をただ1つだけもつ. 実際,
最後に
を考える. これもまた全単射であり,
これでおわりです. Fermatのクリスマス定理には様々な証明があるのですが, ここで紹介した証明はそのなかでもとくに簡単で, 難しい知識も必要のないものです. 「素数を2つの平方数の和として表す」ということと「4で割ったあまり」が関係しているというのは驚きですね. この定理は私が特に好きな定理の1つです. みなさんが好きな定理や証明などがあったら, おしえてほしいです.