準同型定理とは「全単射を作ること」である

準同型定理の復習

いきなりですが，群の準同型定理とは次の主張のことです．

環や加群などいろいろな構造の上で準同型定理は成立し，代数学においてとてつもなく重要な定理の1つです．
一体，これは何なんでしょうか？

全射を作ることは簡単

一般に，$X,Y$を集合とし，$f:X\to Y$はその間の(適当な)写像としましょう．
ここから全射を作り出すことは簡単です．終域を制限した写像$f^{\prime }:X\to f(X)$を用意すればただちに全射が得られます．これは像の定義から明らかですね．

単射を作ることはそこまで難しくない

では，この$f$から単射を作るにはどうすればよいでしょうか．
これも実はそんなに難しくなく，$X$に
$$x\sim y:⟺f(x)=f(y)$$
で同値関係を入れ，ここから写像$\tilde{f}:X/\sim \to Y$を誘導すればよいです．

つまり，全単射を作るのは難しくない

以上をまとめると，写像$f:X\to Y$から全単射を作るには，終域の制限$f^{\prime }:X\to f(X)$を作り，適当な同値関係$\sim$を用意して写像$\widetilde{f^{\prime }}:X/\sim \to f(X)$を作ればよいです．

これって……

ここまでは一般の集合$X,Y$で話をしていましたが，改めて群$G,H$とその間の準同型写像$\phi :G\to H$を考えましょう．
一般の集合の場合と同様に，終域の制限${\phi }^{\prime }:G\to \mathrm{im}\phi$は全射となります．
さらに，$G$に
$$g\sim h:⟺\phi (g)=\phi (h)$$
で同値関係$\sim$を入れましょう．ここで，$\phi$が準同型であることを用いると，
$$\begin{array}{rl}\phi (g)=\phi (h)& ⟺\phi (g-h)=0\\ & ⟺g-h\in \ker \phi \end{array}$$
が分かります．よって$G$を$\sim$で割るということは$G$を$\ker \phi$で割ることと同じです．これで写像$\widetilde{{\phi }^{\prime }}:G/\ker \phi \to \mathrm{im}\phi$を誘導すれば，これは全単射となります．
あとはこの写像が群の演算を保つことを証明すれば，準同型定理が得られます．

まとめ

準同型定理は全単射を作っているだけ，怖くないよ！