準同型定理とは「全単射を作ること」である

準同型定理の復習

いきなりですが，群の準同型定理とは次の主張のことです．

環や加群などいろいろな構造の上で準同型定理は成立し，代数学においてとてつもなく重要な定理の1つです．
一体，これは何なんでしょうか？

全射を作ることは簡単

一般に，$X, Y$を集合とし，$f : X \to Y$はその間の(適当な)写像としましょう．
ここから全射を作り出すことは簡単です．終域を制限した写像$f' : X \to f(X)$を用意すればただちに全射が得られます．これは像の定義から明らかですね．

単射を作ることはそこまで難しくない

では，この$f$から単射を作るにはどうすればよいでしょうか．
これも実はそんなに難しくなく，$X$に
$$x \sim y :\iff f(x) = f(y)$$
で同値関係を入れ，ここから写像$\tilde{f} : X /{\sim} \to Y$を誘導すればよいです．

つまり，全単射を作るのは難しくない

以上をまとめると，写像$f : X \to Y$から全単射を作るには，終域の制限$f' : X \to f(X)$を作り，適当な同値関係$\sim$を用意して写像$\tilde{f'} : X / {\sim} \to f(X)$を作ればよいです．

これって……

ここまでは一般の集合$X, Y$で話をしていましたが，改めて群$G, H$とその間の準同型写像$\varphi : G \to H$を考えましょう．
一般の集合の場合と同様に，終域の制限$\varphi' : G \to \operatorname{im}\varphi$は全射となります．
さらに，$G$に
$$ g \sim h :\iff \varphi(g) = \varphi(h)$$
で同値関係$\sim$を入れましょう．ここで，$\varphi$が準同型であることを用いると，
$$ \begin{align*} \varphi(g) = \varphi(h) &\iff \varphi(g - h) = 0 \\ &\iff g - h \in \ker \varphi \end{align*} $$
が分かります．よって$G$を$\sim$で割るということは$G$を$\ker \varphi$で割ることと同じです．これで写像$\tilde{\varphi'} : G / {\ker \varphi} \to \operatorname{im}\varphi$を誘導すれば，これは全単射となります．
あとはこの写像が群の演算を保つことを証明すれば，準同型定理が得られます．

まとめ

準同型定理は全単射を作っているだけ，怖くないよ！