一般超幾何微分方程式のモノドロミー行列を計算する

前の記事 で, 一般超幾何関数の$x=1$におけるモノドロミー作用を計算した. 今回はそれを元に一般超幾何微分方程式の基本解
\begin{align} f_j(x)&:=x^{1-b_j}\F{r+1}{r}{1+a_1-b_j,\dots,1+a_{r+1}-b_j}{1+b_1-b_j,\dots,1+b_{j-1}-b_j,1+b_{j+1}-b_j,\dots,1+b_{r+1}-b_j}{x}\\ &\qquad (j=1,2,\dots,r+1,\qquad b_{r+1}:=1) \end{align}
に対するモノドロミー行列を計算したいと思う. これらが一般超幾何微分方程式の基本解となるために, 今回は$b_1,\dots,b_{r+1}$のどの2つの差も整数ではないと仮定しておく. まず, $x=0$を正の向きに1周するモノドロミー作用$\gamma_0$はそのFrobenius級数表示から,
\begin{align} \gamma_0f_j(x)=e^{-2\pi ib_j}f_j(x) \end{align}
と計算できる. よって, $x=0$におけるモノドロミー行列は対角行列
\begin{align} \mathrm{diag}(e^{-2\pi ib_1},\dots,e^{-2\pi ib_{r+1}}) \end{align}
となる. 次に$x=1$を正の向きに1周するモノドロミー作用$\gamma_1$を考える. まず, $1\leq j\leq r$に対し, Mellin-Barnes積分
\begin{align} \frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_{j-1}+s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}x^s\,ds \end{align}
は被積分関数が$\Im(s)\to\pm\infty$で指数関数的に減衰するので, $x=1$において正則である. よって, それに対する$\gamma_1$の作用は自明になる. Mellin-Barnes積分を積分路の右側の極に関して展開すると,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_{j-1}+s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}x^s\,ds\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(a_1+n)\cdots\Gamma(a_{r+1}+n)\Gamma(1-b_j-n)}{n!\Gamma(b_1+n)\cdots\Gamma(b_{j-1}+n)\Gamma(b_{j+1}+n)\cdots\Gamma(b_r+n)}x^n\\ &\qquad+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(1+a_1-b_j+n)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j+n)\Gamma(b_j-1-n)}{n!\Gamma(1+b_1-b_j+n)\cdots\Gamma(1+b_{j-1}-b_j+n)\Gamma(1+b_{j+1}-b_j+n)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_j+n)}x^{n+1-b_j}\\ &=\frac{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_j)\Gamma(1-b_j)}{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}f_{r+1}(x)+\frac{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)\Gamma(b_j-1)}{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_r-b_j)}f_j(x) \end{align}
であるから,
\begin{align} &\gamma_1\left(\frac{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_j)\Gamma(1-b_j)}{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}f_{r+1}(x)+\frac{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)\Gamma(b_j-1)}{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_r-b_j)}f_j(x)\right)\\ &=\frac{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_j)\Gamma(1-b_j)}{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}f_{r+1}(x)+\frac{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)\Gamma(b_j-1)}{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_r-b_j)}f_j(x) \end{align}
である. これより,
\begin{align} \gamma_1f_j(x)&=\frac{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_r-b_j)}{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)\Gamma(b_j-1)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_j)\Gamma(1-b_j)}{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}(f_{r+1}(x)-\gamma_1f_{r+1}(x))+f_j(x)\\ &=f_j(x)+\frac{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_j)}{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}\frac{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})}{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}(\gamma_1f_{r+1}(x)-f_{r+1}(x)) \end{align}
となる. 前の記事 で示したように,
\begin{align} &\gamma_1f_{r+1}(x)-f_{r+1}(x)\\ &=2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}x^{1-b_k}\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_{r+1})\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}f_j(x) \end{align}
であるから, これを代入すると
\begin{align} \gamma_1f_j(x)&=f_j(x)+2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\frac{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_j)}{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=1}^{r+1}\frac{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}f_k(x) \end{align}
が得られる. ここまで$1\leq j\leq r+1$としていたが, この式は$j=r+1$に対しても成り立っていることが分かる. よって,　以下を得る.

よって, $x=1$におけるモノドロミー行列の$j,k$成分を$c_{j,k}$とすると,
\begin{align} c_{j,k}&=\delta_{j,k}+2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_j)}{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}\frac{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\qquad 1\leq j,k\leq r+1 \end{align}
となることが分かる. ここで, モノドロミー行列は$T$を転置として
\begin{align} (\gamma_1f_1(x),\dots,\gamma_1f_{r+1}(x))^T=M(f_1(x),\dots,f_{r+1}(x))^T \end{align}
が成り立つような$M=(c_{i,j})_{1\leq i,j\leq r+1}$としている. ここで,
\begin{align} \tilde{f}_j(x)&:=\frac{\Gamma(1+a_1-b_j)\cdots \Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}{\Gamma(1+b_1-b_j)\cdots \Gamma(1+b_{r+1}-b_j)}f_j(x)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{\Gamma(1+a_1-b_j+n)\cdots \Gamma(1+a_{r+1}-b_j+n)}{\Gamma(1+b_1-b_j+n)\cdots \Gamma(1+b_{r+1}-b_j+n)}x^{n+1-b_j} \end{align}
とすると,
\begin{align} \gamma_1\tilde{f}_j(x)&=\tilde{f}_j(x)+2\pi ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\\ &\qquad\cdot\sum_{k=1}^{r+1}\frac{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_{r+1})}\frac{\Gamma(1+b_1-b_k)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_k)}{\Gamma(1+a_1-b_k)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_k)}\tilde{f}_k(x)\\ &=\tilde{f}_j(x)+2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\sum_{k=1}^{r+1}\frac{\sin\pi(b_k-a_1)\cdots\sin\pi(b_k-a_{r+1})}{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\sin\pi(b_k-b_l)}\tilde{f}_k(x) \end{align}
と書くことができる. この基本解$\tilde{f}_1(x),\dots,\tilde{f}_{r+1}(x)$に関するモノドロミー行列は
\begin{align} c_{j,k}&=\delta_{j,k}+2ie^{\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1}-1)}\frac{\sin\pi(b_k-a_1)\cdots\sin\pi(b_k-a_{r+1})}{\prod_{\substack{1\leq l\leq r+1\\l\neq k}}\sin\pi(b_k-b_l)}\qquad 1\leq j,k\leq r+1 \end{align}
と全て三角関数で表すことができる. 特に, $a_1,\dots,a_{r+1},b_1,\dots,b_r$が全て有理数であるとき, これらの値は全て代数的数になる.

${}_2F_1$の場合

特別な場合として, ${}_2F_1$の場合はよく使いそうなので書き下しておきたいと思う.
\begin{align} f_1(x):=x^{1-c}\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x},\qquad f_2(x):=\F21{a,b}c{x} \end{align}
として, $x=0$におけるモノドロミー行列は
\begin{align} \left(\begin{matrix}e^{-2\pi ic} &0\\0&1\end{matrix}\right) \end{align}
であり, $x=1$におけるモノドロミー行列は
\begin{align} \left(\begin{matrix}\displaystyle1-\frac{2\pi i e^{\pi i(c-a-b)}\Gamma(2-c)\Gamma(c-1)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} & \displaystyle-\frac{2\pi i e^{\pi i(c-a-b)}\Gamma(2-c)\Gamma(1-c)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)}\\ \displaystyle-\frac{2\pi i e^{\pi i(c-a-b)}\Gamma(c)\Gamma(c-1)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}&\displaystyle1-\frac{2\pi i e^{\pi i(c-a-b)}\Gamma(c)\Gamma(1-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(1-a)\Gamma(1-b)}\end{matrix}\right) \end{align}
となることが分かる. また,
\begin{align} \tilde{f}_1(x)&:=\frac{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+b-c)}{\Gamma(2-c)}x^{1-c}\F21{1+a-c,1+b-c}{2-c}{x}\\ \tilde{f}_2(x)&:=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(c)}\F21{a,b}c{x} \end{align}
とすると, $x=0$におけるモノドロミー行列は$f_1(x),f_2(x)$に関するものと同じであり, $x=1$におけるモノドロミー行列は
\begin{align} \left(\begin{matrix}\displaystyle1+\frac{2 i e^{\pi i(c-a-b)}\sin\pi(c-a)\sin\pi(c-b)}{\sin\pi c} & \displaystyle-\frac{2i e^{\pi i(c-a-b)}\sin\pi a\sin\pi b}{\sin\pi c}\\ \displaystyle\frac{2 i e^{\pi i(c-a-b)}\sin\pi(c-a)\sin\pi(c-b)}{\sin\pi c}&\displaystyle1-\frac{2i e^{\pi i(c-a-b)}\sin\pi a\sin\pi b}{\sin\pi c}\end{matrix}\right) \end{align}
となる. これらは$c\notin\ZZ$の場合であるが, $c\in\ZZ$の場合, 特に$c=1$のときが重要であるので, いずれそれについてもまとめたいと思う.